普朗克常数（Planck constant）是量子力学的核心常数，标志着物理学从经典世界向量子世界的跨越。它描述了能量子（quantum）的最小作用量单位，是连接微观粒子能量与电磁波频率之间的桥梁。没有这个 6.626×10−34 J⋅s 的小小常数，就不会有激光、半导体、原子钟、核磁共振和现代电子工业。
普朗克常数记作 h，其量纲为能量 × 时间，即作用量（action）的单位。1900 年，马克斯·普朗克（Max Planck）在研究黑体辐射问题时首次引入这一常数，从而开创了量子理论的时代。
h=6.62607015×10−34 J⋅s
自 2019 年 5 月 20 日起，国际单位制（SI）重新定义千克为基于普朗克常数的精确值：
h≡6.62607015×10−34 kg⋅m2/s
这意味着普朗克常数不再是一个测量值，而是一个定义值，千克的定义反过来依赖于它。
除了 h 之外，物理学家更常使用约化普朗克常数（reduced Planck constant）：
ℏ=2πh=1.054571817×10−34 J⋅s
ℏ 读作 "h-bar"，在量子力学方程中几乎无处不在。
| 名称 |
符号 |
数值 |
单位 |
| 普朗克常数 |
h |
6.62607015×10−34 |
J·s |
| 约化普朗克常数 |
ℏ |
1.054571817×10−34 |
J·s |
| 普朗克常数（eV 单位） |
h |
4.135667696×10−15 |
eV·s |
| 约化常数（eV 单位） |
ℏ |
6.582119569×10−16 |
eV·s |
| 普朗克常数（原子单位） |
h |
2π |
a.u.·时间 |
为了理解 6.626×10−34 J⋅s 有多小，看下面的对比：
| 系统 |
特征作用量 (J·s) |
与 h 的比值 |
行为 |
| 电子在原子中 |
∼10−34 |
∼1 |
量子效应显著 |
| 质子束缚在原子核中 |
∼10−21 |
∼1013 |
半经典近似 |
| 病毒分子热运动 |
∼10−22 |
∼1012 |
半经典近似 |
| 尘埃粒子布朗运动 |
∼10−18 |
∼1016 |
接近经典 |
| 跳动的尘埃（1μg, 1mm/s） |
∼10−12 |
∼1022 |
经典物理 |
| 棒球在空中飞行 |
∼101 |
∼1034 |
完全经典 |
| 地球公转 |
∼1041 |
∼1075 |
经典极限 |
当系统的特征作用量与 h 同数量级时，量子效应不可忽略；当远大于 h 时，经典力学是优秀的近似。
19 世纪末，物理学家试图解释黑体辐射的光谱分布。黑体是一个理想化的物体，能吸收所有入射电磁辐射。实验测量显示，不同温度下黑体辐射的强度随波长变化，呈现单峰分布。
然而，经典物理学的两种理论都无法完全解释实验结果：
瑞利-金斯定律（Rayleigh-Jeans law） 基于经典统计力学：
u(ν,T)=c38πν2kBT
其中 u(ν,T) 是频率 ν 处的能量密度，kB 是玻尔兹曼常数，c 是光速。
这个公式在低频区域与实验吻合，但在高频区域预测能量密度趋近无穷大——这被称为 "紫外灾难"（ultraviolet catastrophe）。
维恩近似（Wien approximation） 在高频区域有效，但在低频区域偏离实验数据：
u(ν,T)=c38πhν3e−hν/(kBT)
经典物理从能量均分定理（equipartition theorem）出发：每个振动模式平均携带 kBT 的能量。频率为 ν 的电磁波模式数目为 8πν2/c3，因此：
uclassical(ν,T)=c38πν2⋅kBT
问题在于：高频模式的数目随 ν2 增长且无上限，总能量积分 ∫0∞u(ν)dν 发散——这就是紫外灾难的数学本质。
1900 年 10 月 19 日，普朗克在德国物理学会上提出了一个经验公式，完美拟合了实验数据：
u(ν,T)=c38πhν3⋅ehν/(kBT)−11
为了让这个公式有物理基础，普朗克做出了一个革命性的假设：谐振子的能量不是连续的，而是以能量子（quantum）为单位离散变化的：
E=nhν,n=0,1,2,3,…
其中 h 就是普朗克常数。这意味着能量只能以 hν 的整数倍被吸收或发射。
这个假设在当时是颠覆性的——经典物理学认为能量是连续变化的，就像水龙头流出的水一样。普朗克的假设相当于说能量只能像硬币一样，以离散的整数个单位出现。
如果每个能量模式只能取离散值 En=nhν，则能量分布服从玻尔兹曼分布。谐振子处于能级 En 的概率为：
Pn=∑n=0∞e−En/(kBT)e−En/(kBT)
平均能量为：
⟨E⟩=∑n=0∞e−nhν/(kBT)∑n=0∞nhν⋅e−nhν/(kBT)
这个等比级数可以求和：
⟨E⟩=ehν/(kBT)−1hν
验证极限行为：
- 当 hν≪kBT（低频/高温），ehν/(kBT)≈1+hν/(kBT)，则 ⟨E⟩≈kBT——能量均分定理成立
- 当 hν≫kBT（高频/低温），ehν/(kBT)≫1，则 ⟨E⟩≈hνe−hν/(kBT)——维恩近似成立
乘以模式密度 8πν2/c3 即得完整的普朗克公式。
以具体数值为例，假设温度为 5000 K（约相当于太阳表面温度），计算不同频率处的辐射能量密度：
| 频率 ν (THz) |
波长 λ (nm) |
瑞利-金斯预测 (×10−17 J/m³) |
普朗克公式 (×10−17 J/m³) |
实验值 |
| 100 |
3000 |
0.23 |
0.23 |
吻合 |
| 300 |
1000 |
2.07 |
2.05 |
吻合 |
| 600 |
500 |
8.28 |
6.12 |
吻合 |
| 1000 |
300 |
23.0 |
3.45 |
吻合 |
| 1500 |
200 |
51.8 |
0.52 |
吻合 |
| 3000 |
100 |
207 |
0.0003 → 趋近于 0 |
吻合 |
从表格可见，在低频区域两种理论一致，但在高频区域瑞利-金斯定律发散（紫外灾难），而普朗克公式正确预测了指数衰减，与实验完全吻合。
维恩位移定律（Wien's displacement law）描述了辐射峰值波长与温度的关系：
λmaxT=4.965kBhc=2.898×10−3 m⋅K
从普朗克公式可以导出这个常数。具体数值：
| 辐射源 |
温度 (K) |
峰值波长 λmax |
辐射类型 |
| 宇宙微波背景辐射 |
2.725 |
1.063 mm |
微波 |
| 人体 |
310 |
9.35 μm |
远红外 |
| 白炽灯灯丝 |
2800 |
1.035 μm |
近红外 |
| 太阳表面 |
5778 |
501.5 nm |
可见光（绿） |
| 闪电 |
28000 |
103.5 nm |
紫外 |
| 核爆火球 |
10⁷ |
0.29 nm |
X 射线 |
日常观察：太阳呈现黄绿色正是因为它表面温度 5778 K 的辐射峰值在 500 nm 附近。
普朗克常数是能量量子化尺度的度量。一个物理系统的能量只能取 E=nhν 这样的离散值。
现实例子：一个在势阱中运动的电子，其能量不是任意值，而是：
En=8mL2n2h2,n=1,2,3,…
假设电子（m=9.11×10−31 kg）被限制在一个宽度 L=1 nm 的一维势阱中：
E1=8×9.11×10−31×(1×10−9)212×(6.626×10−34)2=6.02×10−20 J=0.376 eV
E2=4E1=1.504 eV
E3=9E1=3.384 eV
电子只能处于这些离散能级，不能处于其间。宏观物体的能量间隔极小（L 很大时 En 间隔趋近于 0），所以宏观世界看起来是连续的——这就是对应原理（correspondence principle）。
不同尺度下的能级间隔对比：
| 系统 |
特征尺寸 L |
E1 值 |
相邻能级间隔 ΔE |
量子效应 |
| 电子在原子 |
0.1 nm |
37.6 eV |
37.6 n eV |
显著 |
| 电子在量子点 |
10 nm |
0.0376 eV |
0.0376 n eV |
显著 |
| 中子束缚在原子核 |
10 fm |
3.76 MeV |
3.76 n MeV |
显著 |
| 细菌中的电子 |
1 μm |
3.76×10−6 eV |
极微小 |
可忽略 |
| 宏观粒子（1 mg） |
1 mm |
6×10−36 eV |
无法分辨 |
完全经典 |
爱因斯坦在 1905 年利用普朗克的量子概念解释了光电效应：光照射到金属表面时，只有当光子能量超过金属的逸出功（work function）W 时，才能激发出电子：
E光子=hν=W+21mv2
其中 21mv2 是逸出电子的动能。
具体计算：钠金属的逸出功 W=2.28 eV。要激发出钠表面的电子，所需光子的最小频率（称为截止频率）为：
νmin=hW=6.626×10−342.28×1.602×10−19=5.51×1014 Hz
对应波长：
λmax=νminc=5.51×10143×108=544 nm (绿光)
如果用波长 400 nm（紫光，ν=7.5×1014 Hz）照射钠表面，发射电子的动能为：
21mv2=hν−W=(6.626×10−34×7.5×1014)−2.28×1.602×10−19
=4.97×10−19−3.65×10−19=1.32×10−19 J=0.82 eV
如果用 600 nm 红光（ν=5×1014 Hz），光子能量 hν=3.31×10−19 J=2.07 eV<W，无法激发出电子——无论光强多强都不行！这就是经典波动光学无法解释的现象。
几种常见金属的光电效应参数：
| 金属 |
逸出功 W (eV) |
截止频率 ν0 (×1014 Hz) |
截止波长 λ0 (nm) |
| 铯 Cs |
1.94 |
4.69 |
639（红光） |
| 钾 K |
2.28 |
5.51 |
544（绿光） |
| 钠 Na |
2.36 |
5.70 |
526 |
| 钙 Ca |
2.87 |
6.94 |
432 |
| 铜 Cu |
4.48 |
10.83 |
277（紫外） |
| 银 Ag |
4.73 |
11.43 |
262 |
| 铂 Pt |
6.35 |
15.34 |
195 |
太阳能电池正是利用这个原理：半导体材料吸收光子，产生电子-空穴对。晶硅太阳能电池的带隙约为 1.12 eV，对应截止波长 1107 nm——所以红外光子无法被吸收。
1924 年，路易·德布罗意提出任何运动粒子都具有波动性，其波长由动量决定：
λ=ph=mvh
具体数值：
-
一个以 1000 m/s 运动的电子（me=9.11×10−31 kg）：
λ=9.11×10−31×10006.626×10−34=7.28×10−10 m=0.728 nm
这与 X 射线的波长相当，解释了电子的衍射现象。
-
一个以 10 m/s 运动的 0.1 kg 的棒球：
λ=0.1×106.626×10−34=6.63×10−34 m
这个波长比原子核还小数十亿倍，完全无法被探测到——这就是宏观物体不表现波动性的原因。
各种粒子的德布罗意波波长对比：
| 粒子 |
质量 (kg) |
速度 (m/s) |
波长 (m) |
可观测？ |
| 电子（10 keV） |
9.11×10−31 |
5.93×107 |
1.23×10−11 |
✅ 电子显微镜 |
| 中子（0.025 eV 热中子） |
1.67×10−27 |
2.20×103 |
1.80×10−10 |
✅ 中子衍射 |
| 氦原子 |
6.65×10−27 |
1.0×103 |
1.00×10−10 |
✅ 原子干涉仪 |
| C₆₀ 富勒烯分子 |
1.20×10−24 |
200 |
2.76×10−12 |
✅ 分子干涉实验 |
| 流感病毒 |
∼10−18 |
1×10−5 (布朗运动) |
6.63×10−11 |
理论可测 |
| 尘埃粒子（1 μg） |
10−9 |
1×10−3 |
6.63×10−22 |
❌ 不可测 |
| 棒球 |
0.145 |
40 |
1.14×10−34 |
❌ 不可测 |
电子显微镜利用电子德布罗意波远短于可见光波长的特性，分辨率可达 0.1 nm 以下，是光学显微镜的千倍以上。
普朗克常数设定了量子测量的基本极限：
Δx⋅Δp≥2ℏ
ΔE⋅Δt≥2ℏ
这意味着位置 Δx 和动量 Δp 不能同时被精确测定。乘积的最小值由 ℏ 决定。
实际含义：如果要精确测量一个粒子的位置（Δx 很小），其动量不确定性 Δp 就必然变大，反之亦然。ℏ 的值极小（10−34 量级），所以这个限制在宏观世界中无关紧要，但在原子尺度至关重要。
数值示例：将电子位置确定在 Δx=10−10 m（原子大小）内：
Δp≥2Δxℏ=2×10−101.055×10−34=5.28×10−25 kg⋅m/s
这相当于速度不确定性 Δv≈5.8×105 m/s——电子的速度本身就有很大不确定性。
不同尺度下的不确定性影响：
| 粒子 |
位置精度 Δx (m) |
最小 Δp (kg·m/s) |
对应的 Δv |
实际影响 |
| 原子中的电子 |
10−10 |
5.3×10−25 |
5.8×105 m/s |
电子轨道不确定 |
| 原子核中的质子 |
10−15 |
5.3×10−20 |
3.2×107 m/s |
高速运动 |
| 病毒中的分子 |
10−8 |
5.3×10−27 |
5.3×103 m/s |
分子振动显著 |
| 1μm 尘埃 |
10−10 |
5.3×10−25 |
5.3×10−16 m/s |
完全可忽略 |
| 1mm 钢珠 |
10−12 (原子级定位) |
5.3×10−23 |
5.3×10−20 m/s |
完全可忽略 |
在旧量子论中，玻尔和索末菲提出了更一般的作用量量子化条件：
∮pdq=nh,n=0,1,2,…
其中 ∮ 是周期运动中的一个完整周期积分。这个规则将经典轨道的"面积"（在相空间中）量子化为 h 的整数倍。
氢原子的玻尔模型：电子在库仑势中做圆周运动，角动量量子化：
mvr=nℏ,n=1,2,3,…
由此得出能级：
En=−8ϵ02h2me4⋅n21=−n213.6 eV
| 主量子数 n |
轨道半径 (a0) |
能量 (eV) |
物理意义 |
| 1 |
1（基态） |
−13.6 |
基态——最稳定 |
| 2 |
4 |
−3.40 |
第一激发态——可观测的发射线 |
| 3 |
9 |
−1.51 |
第二激发态 |
| 4 |
16 |
−0.85 |
可见光巴尔末系 |
| ∞ |
∞ |
0 |
电离极限 |
时间依赖的薛定谔方程：
iℏ∂t∂Ψ(x,t)=H^Ψ(x,t)
其中 H^ 是哈密顿算符。对于一维自由粒子：
iℏ∂t∂Ψ=−2mℏ2∂x2∂2Ψ
量子力学中，位置和动量的对易关系：
[x^,p^]=x^p^−p^x^=iℏ
这个关系直接导致了不确定性原理。从对易关系出发，可以证明任何可观测量 A 和 B 满足通用不确定性关系：
ΔA⋅ΔB≥21∣⟨[A^,B^]⟩∣
一个角频率为 ω 的量子谐振子的能量为：
En=ℏω(n+21),n=0,1,2,…
即使 n=0，能量也不为零——这就是零点能（zero-point energy）：
E0=21ℏω
这是一个纯粹的量子效应，在经典力学中不存在。
数值示例：考虑一个甲醛分子 C=O 键的伸缩振动（ω≈2.0×1014 rad/s）：
E0=21×1.055×10−34×2.0×1014=1.055×10−20 J=0.066 eV
对应吸收波长为 hc/(E1−E0)=3.14×10−6 m，位于红外区域——这正是红外光谱检测的原理。实际甲醛 C=O 伸缩振动吸收峰在 5.8 μm。
量子谐振子的零点能还在以下现象中起关键作用：
- 氦在常压下不凝固：零点振动能大于凝固潜热
- 卡西米尔效应：真空电磁场的零点能在两块平行板之间产生吸引力
- 拉比振荡：量子比特在基态和激发态之间来回震荡
在费曼的路径积分表述中，量子力学的传播子由下式给出：
⟨xf∣e−iH^t/ℏ∣xi⟩=∫D[x(t)]eiS[x(t)]/ℏ
其中 S=∫Ldt 是经典作用量。这个公式表明量子振幅是所有可能路径的相位和——而相位由 S/ℏ 决定。
当 h→0 时，S/ℏ→∞，只有满足 δS=0 的路径（经典路径）产生相长干涉——经典力学从量子力学中恢复。
普朗克常数虽小，但其量子效应在日常生活中无处不在：
LED（发光二极管）依靠电子在半导体能带间跃迁发光。发光的颜色（频率）由能隙决定：
λ=Eghc
具体数据：
| LED 颜色 |
能隙 Eg (eV) |
理论波长 (nm) |
实际波长范围 (nm) |
常用材料 |
| 红外 |
1.24 |
1000 |
900-1100 |
GaAs |
| 红色 |
1.77 |
700 |
620-750 |
GaAsP |
| 黄色 |
2.10 |
590 |
570-590 |
GaP |
| 绿色 |
2.30 |
540 |
495-570 |
InGaN |
| 蓝色 |
2.64 |
470 |
450-495 |
GaN |
| 紫外 |
3.10 |
400 |
<400 |
AlGaN |
2014 年诺贝尔物理学奖授予赤崎勇、天野浩和中村修二，表彰他们发明了蓝色 LED——这颗基于 GaN 的蓝色 LED 使白色 LED 照明成为可能。据统计，LED 照明比白炽灯节能约 80%，全球每年可减排数亿吨 CO₂。
激光利用受激辐射原理，其能量跃迁满足：
Ehigh−Elow=hν=λhc
He-Ne 激光器发射 632.8 nm 红光，对应光子能量：
E=λhc=632.8×10−96.626×10−34×3×108=3.14×10−19 J=1.96 eV
常见激光器参数：
| 激光器类型 |
波长 (nm) |
光子能量 (eV) |
典型功率 |
应用 |
| He-Ne |
632.8 |
1.96 |
1-50 mW |
教学、干涉测量 |
| 半导体（CD） |
780 |
1.59 |
5 mW |
光盘读取 |
| 半导体（DVD） |
650 |
1.91 |
10 mW |
DVD 读取 |
| 半导体（蓝光） |
405 |
3.06 |
50 mW |
蓝光播放器 |
| Nd:YAG |
1064 |
1.17 |
kW级 |
工业切割 |
| CO₂ |
10600 |
0.117 |
kW级 |
医疗手术 |
| 飞秒钛宝石 |
800 |
1.55 |
TW脉冲 |
超快物理 |
STM 利用量子隧穿效应观察原子表面。隧穿电流对距离极度敏感，其原理直接源自量子力学的概率波函数——而所有这些描述均依赖于 ℏ。
隧穿电流 I 与针尖-样品距离 d 的关系：
I∝e−2κd,κ=ℏ2mϕ
其中 ϕ 是功函数（~4 eV），κ≈1 A˚−1。这意味着距离每增加 1 Å，电流减小 e2≈7.4 倍——STM 的垂直分辨率可达 0.01 nm。
现代原子钟利用铯-133 原子在两个超精细能级间的跃迁来定义秒。跃迁频率为：
νCs=hΔE=9,192,631,770 Hz
这正是国际单位制中秒的定义！
原子钟精度演进：
| 年代 |
类型 |
不确定度 |
误差：百万年差 1 秒 |
| 1955 |
铯束管 |
10−9 |
30年 |
| 1970 |
铯束（商业） |
10−12 |
3万年 |
| 1990 |
铯喷泉 |
10−14 |
300万年 |
| 2000 |
铯喷泉（NIST-F1） |
1.5×10−15 |
2000万年 |
| 2014 |
锶光晶格钟 |
6.4×10−18 |
50亿年（宇宙年龄） |
在外磁场 B0 中，自旋 1/2 原子核的能级分裂为：
ΔE=γℏB0
其中 γ 是旋磁比。对于氢质子（1H），γ/2π=42.58 MHz/T。在 1.5 T 的 MRI 机器中：
ΔE=h×(42.58×106×1.5)=h×63.87 MHz
对应射频波长约 4.7 m。MRI 通过检测氢质子在射频脉冲后的弛豫信号重建人体内部结构，生成分辨率可达亚毫米级的三维图像。
太阳能电池利用光子能量将电子从价带激发到导带：
hν≥Eg
其中 Eg 是半导体带隙。对不同半导体材料：
| 材料 |
带隙 Eg (eV) |
截止波长 (nm) |
理论效率上限 (%) |
| c-Si |
1.12 |
1107 |
33.7 (Shockley-Queisser) |
| GaAs |
1.43 |
867 |
33.5 |
| CdTe |
1.45 |
855 |
32.2 |
| CIGS |
1.15 |
1078 |
32.5 |
| 钙钛矿 |
1.55 |
800 |
31.0 |
这就是为什么太阳能电池效率公式中包含普朗克常数：它限定了每个光子可利用的最大能量。
量子点是一种人造半导体纳米晶，其带隙随尺寸变化（量子限域效应）：
Eg=Eg,0+2μr2ℏ2π2
其中 r 是量子点半径，μ 是有效质量。通过改变量子点尺寸，可以精确控制发光颜色：
| 量子点材料 |
尺寸 (nm) |
发光颜色 |
对应波长 (nm) |
| CdSe |
2.0 |
蓝色 |
460 |
| CdSe |
3.5 |
绿色 |
540 |
| CdSe |
5.5 |
红色 |
630 |
| CdSe |
7.0 |
深红 |
660 |
普朗克常数直接出现在能隙修正项中，决定了量子点的光学特性。
通过组合普朗克常数 h、光速 c、和引力常数 G，可以得到一组自然单位，称为普朗克单位：
lP=c3ℏG=1.616×10−35 m
tP=c5ℏG=5.391×10−44 s
mP=Gℏc=2.176×10−8 kg
TP=GkB2ℏc5=1.417×1032 K
在这些尺度上，量子引力效应变得显著，现有物理理论（广义相对论 + 量子力学）将不再适用。
意义的具象化：普朗克长度 1.616×10−35 m 与一个质子大小（10−15 m）的比值，就像质子大小与 1 米的比值一样——尺度跨越了 20 个数量级。
| 名称 |
数值 |
对比对象 |
放大倍数 |
| 普朗克长度 lP |
1.62×10−35 m |
质子直径 (10−15 m) |
1020 倍 |
| 质子直径 |
1×10−15 m |
原子直径 (10−10 m) |
105 倍 |
| 原子直径 |
1×10−10 m |
肉眼可见 (0.1 mm) |
106 倍 |
| 普朗克时间 tP |
5.39×10−44 s |
光的原子穿越时间 (3×10−19 s) |
1025 倍 |
| 普朗克质量 mP |
2.18×10−8 kg |
一个灰尘的质量 (∼10−9 kg) |
同一量级 |
| 普朗克温度 TP |
1.42×1032 K |
太阳核心温度 (1.5×107 K) |
1025 倍 |
普朗克质量是唯一与宏观量同数量级的普朗克单位——一个灰尘颗粒的质量恰好在普朗克质量附近！
普朗克常数的测量精度随时间不断提高：
| 年份 |
方法 |
测量值 (×10−34 J·s) |
相对不确定度 |
| 1900 |
普朗克（黑体辐射拟合） |
6.55 |
~1% |
| 1916 |
密立根（光电效应） |
6.57 |
~0.5% |
| 1970s |
约瑟夫森效应 + 量子霍尔效应 |
6.6261 |
~10−6 |
| 1988 |
瓦特天平（NPL） |
6.6260686 |
2.4×10−7 |
| 1998 |
瓦特天平（NIST） |
6.62606891 |
8.7×10−8 |
| 2014 |
硅球法（国际阿伏伽德罗联合项目） |
6.6260693 |
2×10−8 |
| 2017 |
瓦特天平（NIST-4） |
6.626069934 |
1.3×10−8 |
| 2019 |
SI 定义值 |
6.62607015 |
精确值 |
瓦特天平是目前测量普朗克常数最精确的方法。它通过比较电功率和机械功率来测定 h：
Fv=UI
其中 F 是线圈在磁场中受到的力，v 是线圈运动速度，U 是线圈两端的电压，I 是电流。
关键测量技术：
- 电压 U 通过约瑟夫森效应测量：U=nf/(2e/h)，其中 f 是微波频率
- 电流 I 通过量子霍尔效应测量：I=UH/RH，RH=h/(ie2)
将两者代入功率平衡方程：
mgv=UI=KJn1f⋅RKn2=n1n2f⋅2he2⋅e22h=n1n2f
其中 KJ=2e/h 是约瑟夫森常数，RK=h/e2 是冯·克里青常数。最终发现 mgv=n1n2f——h 被约掉了！这个看似悖论的结果恰恰说明 h 通过 KJ 和 RK 被精确知道。
NIST-4 瓦特天平的测量不确定度已达到 1.3×10−8。
另一种方法是用高纯度硅-28 制成完美球体，通过精确测量球的直径和密度，计算阿伏伽德罗常数和普朗克常数。
原理：NA=ρVatomM，其中 M 是摩尔质量，ρ 是密度，Vatom 是单个原子体积。然后：
h=NAR∞4Mcα2⋅me/mp1
国际阿伏伽德罗联合项目（IAC）使用的硅-28 球体参数：
- 质量：约 1 kg
- 直径：约 93.6 mm
- 表面粗糙度：< 0.3 nm（原子级光滑）
- 硅-28 丰度：99.99%
- 球体偏离理想球形的偏差：< 30 nm
这个方法的精度与瓦特天平相当（2×10−8），两者互相验证。2017 年最后一次 CODATA 推荐的 h 值正是综合了两种方法的结果。
2019 年 5 月 20 日生效的新 SI 定义中，千克的质量不再由国际千克原器（一个存放在巴黎的铂铱合金圆柱体）定义，而是由普朗克常数定义。
7 个基本单位中，有 3 个被赋予精确定义值：
| 常数 |
符号 |
精确值 |
定义了 |
| 铯-133 超精细跃迁频率 |
ΔνCs |
9192631770 Hz |
秒 s |
| 光速 |
c |
299792458 m/s |
米 m |
| 普朗克常数 |
h |
6.62607015×10−34 J·s |
千克 kg |
通过 h 定义千克的推导：
E=mc2⇒m=c2E
E=hν=h⋅λc⇒m=cλh
因此 1 千克可以通过普朗克常数、光速和铯原子跃迁频率来表达：
1 kg=6.62607015×10−34h⋅9192631770ΔνCs⋅299792458c
这个关系意味着：未来如果我们需要调整质量标尺，只需精确测量普朗克常数即可——不再依赖物理原器。
| 维度 |
旧定义（至 2019） |
新定义（2019 起） |
| 千克标准 |
巴黎的铂铱合金圆柱体（1889-2019） |
h=6.62607015×10−34 J·s |
| 千克稳定性 |
每年漂移约 5×10−9 |
绝对稳定（常数不变） |
| 千克复现性 |
只能去巴黎比对 |
任何实验室都可复现（有瓦特天平） |
| 时间基准 |
天文观测 → 铯原子钟 |
ΔνCs=9192631770 Hz |
| 长度基准 |
米原器 → 氪-86 → 光速 |
c=299792458 m/s |
| 基本原理 |
基于人造物体 |
基于自然常数 |
在高能物理中，通常使用自然单位制（natural units），其中 ℏ=c=1。这简化了公式，但h 的量子尺度仍然隐含在方程中。
无量纲常数 α 将 h、e、c 和 ϵ0 联系起来：
α=4πϵ0ℏce2≈137.0361
精细结构常数是量子电动力学（QED）的耦合常数，其倒数 1/α≈137 是当代物理学的未解之谜之一。
弦理论预测，当能量达到普朗克能标 EP=mPc2≈1.22×1019 GeV 时，量子引力效应不可忽略。这比当前最大加速器 LHC 的能量（104 GeV）高出 15 个数量级。
| 物理理论 |
有效范围 |
特征常数 |
| 经典力学 |
S≫h, v≪c, M≪mP |
无基本常数 |
| 狭义相对论 |
v∼c |
c |
| 量子力学 |
S∼h |
h |
| 广义相对论 |
M∼mP |
G |
| 量子引力 |
S∼h, M∼mP |
h, c, G（普朗克单位） |
四种基本相互作用在量子层面都通过普朗克常数体现：
| 相互作用 |
媒介粒子 |
典型耦合常数 |
量子效应特征 |
| 电磁力 |
光子 |
α=e2/(4πϵ0ℏc)≈1/137 |
光子能量 E=hν |
| 强力 |
胶子 |
αs∼0.1（高能时） |
夸克色禁闭特征能标 ΛQCD∼200 MeV |
| 弱力 |
W/Z 玻色子 |
αW∼1/30 |
W 玻色子质量 mW∼80 GeV |
| 引力 |
引力子（假设） |
αG∼(m/mP)2 |
普朗克能标 EP∼1019 GeV |
普朗克常数 h 不仅仅是一个物理常数，它定义了自然界的量子极限：
| 意义 |
数学表达 |
数值体现 |
| 能量量子化的最小作用量 |
E=hν |
6.626×10−34 J/Hz |
| 物质波波长与动量的关系 |
λ=h/p |
电子波长 0.7 nm（1000 m/s 时） |
| 不确定性原理的极限 |
Δx⋅Δp≥ℏ/2 |
ℏ=1.055×10−34 J·s |
| 量子效应显著的条件 |
作用量 ∼h |
原子尺度 |
| 经典极限（对应原理） |
h→0 时恢复经典力学 |
宏观物体 |
| SI 单位制的锚定常数 |
h≡6.62607015×10−34 kg·m²/s |
定义千克 |
| 量子引力的特征尺度 |
普朗克长度 ∼ℏG/c3 |
1.62×10−35 m |
h 的存在划清了经典物理与量子物理的边界。当一个物理系统的作用量接近 h 的量级时，量子效应变得显著；当作用量远大于 h 时，经典物理是很好的近似。正是这个 6.626×10−34 J⋅s 的小小常数，揭示了自然界深处最迷人的量子奥秘。
- 普朗克 1900 论文：Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum（论正常光谱中的能量分布定律）
- 费曼物理学讲义 Vol. III，第 1-3 章
- 温伯格《量子力学讲义》，开篇历史回顾
- CODATA 2018：普朗克常数推荐值
- 参见：普朗克单位制
- 参见：精细结构常数
- 参见：普朗克常数的测量方法