关键词：普朗克常数、基布尔天平、瓦特天平、XRCD法、硅球法、约瑟夫森效应、量子霍尔效应、SI重新定义、CODATA、千克定义
普朗克常数（）是量子力学中最基本的物理常数之一，它表征了能量与频率之间的比例关系：。自2019年5月20日起，普朗克常数成为国际单位制（SI）中千克（kg）的定义基础——这不仅是一次计量标准的更新，更是人类从"实物标准"迈向"基本常数标准"的历史性跨越。
本文系统介绍普朗克常数的测量方法演变，重点阐述两种核心测量技术：基布尔天平（Kibble Balance）法和X射线晶体密度（XRCD/硅球）法，以及这些测量如何最终成就了2019年的SI重新定义。
在2019年之前，千克是国际单位制中唯一一个仍然由实物定义的基本单位——一个直径和高度均为39毫米的铂铱合金圆柱体，被称为"国际千克原器"（IPK），自1889年起保存在法国巴黎附近的国际计量局（BIPM）地下室中。
但是，实物标准存在一个本质缺陷：它会变化。经过一个多世纪的比对测量，科学家发现IPK与各国复制品之间的质量差异达到了约50微克（ 千克）。
具体数据：以一个质量为1 kg的物体为例，50 μg的偏差相当于：
谁变了？IPK还是复制品？没人知道。这个不可消除的歧义，推动了用物理常数替代实物标准的进程。
普朗克常数的量纲为 （即焦耳·秒，J·s），其中包含质量单位千克。如果能够以足够高的精度确定 的数值，就可以反过来用 来定义千克：
这意味着，千克的定义将不再依赖于"一个放在巴黎的圆柱体"，而是基于一个全宇宙都相同的基本常数。
SI委员会对重新定义千克提出了严格的条件：至少需要三种独立实验（或两种方法、多个实验室），测量 的相对不确定度必须小于 50 ppb（十亿分之五十）。
| 条件 | 要求 | 实际达成 |
|---|---|---|
| 独立方法数 | ≥ 2 种 | 基布尔天平法 + XRCD硅球法 |
| 独立实验数 | ≥ 3 个 | NIST、NRC、LNE、NPL等 |
| 相对不确定度 | < 50 ppb | < 10 ppb（2017年数据） |
基布尔天平（原名瓦特天平，Watt Balance）是测量普朗克常数最精密的方法之一。它由英国国家物理实验室（NPL）的布莱恩·基布尔（Bryan Kibble）于1975年发明，其核心思想是：通过比较机械功率和电功率来建立质量与普朗克常数之间的联系。
基布尔天平的巧妙之处在于它能在两种模式下工作，分别消除难以精确测量的磁场和线圈长度参数。
在此模式下，天平的一端放有标准质量 ，另一端是一个悬挂在强磁场中的线圈。
┌─────────────────────┐
│ 天平横梁 │
│ ┌──────────┐ │
│ │ 支点 │ │
│ └──────────┘ │
│ │ │ │
│ ┌─┴─┐ ┌──┴──┐ │
│ │ m │ │线圈 │ │
│ │kg?│ │ ╭╮ │ │
│ └───┘ │ ││ │ │
│ │ ╰╯ │ │
│ │磁铁 │ │
└───────────┴──────┘─┘
在线圈中通入电流 ，产生的电磁力 （其中 为磁感应强度， 为线圈在磁场中的有效长度）与质量的重力 相平衡。当达到平衡时：
将线圈从磁铁中移开，换上一个马达驱动线圈以恒定速度 垂直运动。此时线圈中感应出电压 ：
注意到两个方程中都出现了 ，将两式相除：
整理得：
这就是基布尔天平的核心方程——电功率等于机械功率。
接下来，需要将电学量（ 和 ）与普朗克常数联系起来。这需要借助两个重要的量子效应：
当两个超导体之间夹有一层极薄的绝缘体（形成约瑟夫森结）时，施加微波辐射会产生精确的电压：
其中 为约瑟夫森结的数量， 为微波频率， 为普朗克常数， 为元电荷。
在强磁场和低温条件下，二维电子气的霍尔电阻呈现量子化：
其中 为整数（或某些情况下的分数）， 为普朗克常数， 为元电荷。
将这两个量子效应代入基布尔天平的功率方程：
结合 ，得到：
在已知 的情况下即可求出 ；反过来，一旦 被固定为定义值，即可用基布尔天平直接实现千克。
美国国家标准与技术研究院（NIST）的 NIST-4 基布尔天平是目前最精确的装置之一。
| 参数 | 典型值 |
|---|---|
| 标准质量 | 1 kg |
| 线圈直径 | ~0.5 m |
| 磁通密度 | ~0.5 T |
| 速度模式速度 | ~2 mm/s |
| 微波频率 | ~70 GHz |
| 结数量（） | ~2000 |
一组实际测量数据（NIST-4，2015）：
| 测量编号 | 测量的 值 ( J·s) | 相对偏差 (ppb) |
|---|---|---|
| 1 | 6.62606935 | +1.2 |
| 2 | 6.62606931 | -2.1 |
| 3 | 6.62606938 | +4.3 |
| 4 | 6.62606929 | -3.6 |
| 5 | 6.62606933 | -0.8 |
| 6 | 6.62606934 | +0.3 |
| 平均 | 6.62606933 | — |
| 不确定度 | ±0.00000013 | ±19 ppb |
注：表中数值为示意性展示。实际NIST-4的最终合成不确定度为 13 ppb（2017年）。
| 国家/机构 | 实验室 | 装置名称 | 发展阶段 | 典型不确定度 |
|---|---|---|---|---|
| 🇺🇸 美国 | NIST | NIST-4 (Kibble Balance III) | 运行中 | ~13 ppb |
| 🇨🇦 加拿大 | NRC | NRC Kibble Balance | 运行中 | ~9 ppb |
| 🇬🇧 英国 | NPL | NPL Mark II | 已退役（设备转让给加拿大） | — |
| 🇫🇷 法国 | LNE | LNE Kibble Balance | 运行中 | ~29 ppb |
| 🇨🇭 瑞士 | METAS | METAS Kibble Balance | 运行中 | ~50 ppb |
| 🇨🇳 中国 | NIM | NIM-1 Kibble Balance | 运行中 | ~35 ppb |
| 🇰🇷 韩国 | KRISS | KRISS Kibble Balance | 运行中 | — |
| 🇯🇵 日本 | NMIJ | NMIJ Kibble Balance | 运行中 | — |
| 🇩🇪 德国 | PTB | PTB Kibble Balance | 开发中 | — |
| 🇹🇼 台湾 | NML | — | 使用硅球法（非基布尔天平） | — |
注：不确定度数据主要来自2017年CODATA调整提交的测量结果，后续设备精度持续提升。
X射线晶体密度法（X-Ray Crystal Density，XRCD）是另一种精确测量普朗克常数的独立方法。它不是直接测量 ，而是通过测量阿伏伽德罗常数 来间接得到 ，因为二者通过精细结构常数等因素紧密关联。
阿伏伽德罗常数 定义为1摩尔物质中所含的基本单元数。其测量原理可以简化为以下链条：
其中：
若材料为单晶硅，则：
这里 是晶格常数（通过X射线干涉仪测量）， 是每个晶胞中的原子数（硅的钻石结构为8个）。
而 与 的关系为：
其中 为光速， 为精细结构常数， 为摩尔质量常数， 为里德伯常数。因此，精确测量 就等价于精确测量 。
| 理由 | 说明 |
|---|---|
| 稳定性 | 硅-28是稳定同位素，无放射性衰变 |
| 晶格完美 | 硅的钻石结构非常规整，便于计算 |
| 可获得性 | 自然界中硅-28丰度约92%，但需要 99.995%以上 的富集纯度 |
| 加工性 | 单晶硅可以加工成近乎完美的球体 |
制造这样的硅球是一项令人叹为观止的精密工程：
关于硅球的精度：如果把这个硅球放大到地球大小，其表面最高处与最低处的落差只有约14米——这相当于地球上的一个足球场的起伏。
硅球法需要精确测量以下四个物理量：
┌─────────────────────────────────────┐
│ 测量硅球法 │
│ │
│ ┌──────────┐ ┌──────────────────┐ │
│ │ 球体直径 │ │ 晶格常数 (a) │ │
│ │ 激光干涉仪│ │ X射线干涉仪 │ │
│ └────┬─────┘ └───────┬─────────┘ │
│ ▼ ▼ │
│ ┌──────────┐ ┌──────────────────┐ │
│ │ 球体积 V │ │ 原子体积 a³/8 │ │
│ └────┬─────┘ └───────┬─────────┘ │
│ ▼ ▼ │
│ ┌────────────────────────────────┐ │
│ │ 原子数 N = V / (a³/8) │ │
│ └──────────────┬─────────────────┘ │
│ ▼ │
│ ┌────────────────────────────────┐ │
│ │ 摩尔质量 M（质谱法测量） │ │
│ │ 球体总质量 m（精密天平） │ │
│ └──────────────┬─────────────────┘ │
│ ▼ │
│ ┌────────────────────────────────┐ │
│ │ N_A = M · N / m │ │
│ │ h ∝ 1/N_A │ │
│ └────────────────────────────────┘ │
└─────────────────────────────────────┘
设硅球直径为 ，则：
球体积：
晶格常数（X射线测量）：
原子体积（每个硅晶胞含8个原子）：
硅球中原子总数：
已知硅球质量为 ，硅-28的摩尔质量 ，则：
（此值仅为示意，实际值通过更精密的测量得出）
硅球法的不确定度来源及其贡献（以国际阿伏伽德罗协作组织IAC的数据为例）：
| 不确定度来源 | 相对贡献 (ppb) | 说明 |
|---|---|---|
| 硅球直径测量 | ~3 | 激光干涉仪，需测量上百个方向的直径 |
| 晶格常数测量 | ~1 | X射线干涉仪精度极高 |
| 硅-28同位素丰度 | ~5 | 最大不确定度来源 |
| 表面氧化物层 | ~2 | 球体表面天然氧化硅层厚度测量 |
| 杂质分析 | ~1 | 碳、氧等杂质浓度 |
| 质量测量 | ~0.5 | 真空天平 |
| 合成不确定度 | ~7 | 综合所有因素 |
关键洞察：最大的不确定度来源是同位素丰度分析，这正是为什么要耗资200万欧元使用超纯硅-28的原因。
| 特性 | 基布尔天平法 | XRCD硅球法 |
|---|---|---|
| 物理原理 | 电功率 = 机械功率 | 通过测量原子数量求 |
| 直接测量量 | 电压、电流、速度、频率 | 直径、晶格常数、质量、同位素丰度 |
| 关键量子效应 | 约瑟夫森效应 + 量子霍尔效应 | X射线干涉 |
| 装置复杂度 | 高（精密机械+低温超导） | 高（精密光学+质谱） |
| 核心优势 | 直接溯源 ，可用作"千克复现" | 不依赖电学量子标准，独立校验 |
| 主要不确定度来源 | 磁体性能、机械振动 | 同位素纯度、表面氧化层 |
| 每个装置成本 | ~数百万美元 | ~数百万欧元 |
| 典型不确定度（2017年） | 9-29 ppb | ~7 ppb |
这两种方法并非一开始就一致。以下是关键的对比历史：
2003年：首次对比发现偏差 ~1 ppm（百万分之一）
↓ 差距远超不确定度，引起大规模争议
↓
2007年：发现自然硅中同位素丰度测量不准确是关键偏差源
↓ 决定使用富集硅-28
↓
2011年：使用富集硅-28_的新硅球，偏差缩小至 ~30 ppb
↓
2015-2017：两种方法结果在 < 10 ppb 水平一致
↓
2018年：CGPM投票通过新的SI定义
| 实验室/方法 | 测量的 值 ( J·s) | 相对不确定度 (ppb) |
|---|---|---|
| NIST 基布尔天平（美国） | 6.626069934 | 13 |
| NRC 基布尔天平（加拿大） | 6.626069936 | 9 |
| LNE 基布尔天平（法国） | 6.626069940 | 29 |
| IAC XRCD 硅球法（国际协作） | 6.626069938 | 7 |
| CODATA 2017 推荐值 | 6.626070040 | 8 |
最终确定的固定值为 ，这个值综合考虑了所有实验结果，并在小数点后第8位进行了微小调整以与所有数据兼容。
| 测量 | 与固定值的偏差 (ppb) | 偏差方向 |
|---|---|---|
| NIST-3 (2015) | +2.1 | 偏大 |
| NIST-4 (2017) | -0.3 | 偏小 |
| NRC (2015) | -1.5 | 偏小 |
| LNE (2017) | +4.2 | 偏大 |
| IAC 硅球 (2015) | +0.9 | 偏大 |
| IAC 硅球 (2017) | -0.6 | 偏小 |
所有实验室的结果都在 10 ppb（十亿分之十）以内一致，远优于CGPM要求的 50 ppb 条件。
2018年11月16日，第26届国际计量大会（CGPM）全票通过SI新定义，于2019年5月20日正式生效。
新的千克定义是：
千克，符号 kg，是国际单位制中的质量单位。当普朗克常数 以单位 J·s（即 kg·m²·s⁻¹）表示时，取其固定数值为 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ 来定义千克，其中米和秒用 和 定义。
这意味着：
| 旧SI（2019年前） | 新SI（2019年起） | |
|---|---|---|
| 千克 | 由IPK实物定义 | 由 定义 |
| 安培 | 由两根无限长导线间的力定义 | 由元电荷 定义 |
| 开尔文 | 由水的三相点定义 | 由玻尔兹曼常数 定义 |
| 摩尔 | 由0.012 kg碳-12中原子数定义 | 由阿伏伽德罗常数 定义 |
对普通人和大多数工业应用：完全无感。1千克的大小没有变化，连续性和兼容性得到保障。
对计量学研究：革命性变化。
2020年代以来，基布尔天平的发展方向包括：
根据2024年发布的CODATA 2022基本物理常数推荐值：
| 常数 | 数值 | 相对标准不确定度 |
|---|---|---|
| （定义值） | J·s | 0（精确） |
| （定义值） | mol⁻¹ | 0（精确） |
| （定义值） | C | 0（精确） |
| （定义值） | J/K | 0（精确） |
这些常数的固定值是精确值！"0不确定度"意味着它们是定义而非测量结果。测量的不确定性转移到通过它们导出的物理量上。
虽然 的定义不确定度为0，但复现千克时仍有实验不确定度：
| 方法 | 当前最佳复现不确定度 | 2022年更新的实测不确定度 |
|---|---|---|
| 基布尔天平法 | ~10 ppb | 随装置改进持续下降 |
| XRCD硅球法 | ~7 ppb | 表面分析技术改善 |
| 互相比对 | ~5 ppb | CCM.M-K8比对结果 |
普朗克常数测量方法体系
│
├─ 基布尔天平法
│ ├─ 原理：电功率 = 机械功率 (VI = mgv)
│ ├─ 量子支柱：约瑟夫森效应 + 量子霍尔效应
│ ├─ 优势：直接实现千克复现
│ └─ 代表装置：NIST-4（美国）、NRC（加拿大）
│
├─ XRCD硅球法
│ ├─ 原理：测 N_A 间接求 h
│ ├─ 核心：单晶硅-28球体 + X射线干涉
│ ├─ 优势：独立验证，不依赖电学标准
│ └─ 代表项目：国际阿伏伽德罗协作计划（IAC）
│
└─ 核心意义
├─ 2019年SI重新定义，千克告别实物标准
├─ 两种方法在10 ppb内一致
└─ 全球质量量值传递体系迎来量子时代
| 数字 | 意义 |
|---|---|
| 普朗克常数 的定义值（J·s） | |
| 50 ppb | CGPM要求的最低测量精度（实际达成 < 10 ppb） |
| 10⁻⁸ | IPK与复制品之间的漂移率 |
| 200万欧元 | 5 kg 超纯硅-28原料成本 |
| 14 m | 硅球放大到地球大小时的表面起伏 |
| 2019-05-20 | SI新定义生效日 |