普朗克单位制（Planck units）是一套自然单位系统，由德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck）于 1899 年提出。它基于普适物理常数——光速 c c G G ℏ ℏ k B k B k e k e 用宇宙中最基本的物理常数来代替人为定义的"米"、"秒"等度量基准 。
人类日常使用的长度单位"米"最初定义为通过巴黎的子午线长度的四千万分之一；时间单位"秒"基于地球自转周期的 1 / 86400 1/86400 人为任意性 ——如果我们和火星人交流物理定律，他们会不理解"一米有多长"，但一定能理解 c c ℏ ℏ
核心动机 ：将物理单位建立在普适常数之上，使公式表达变得更简洁，消除常数因子。
基本思想：选取一组基本物理常数 ，将其数值设为 1 1
常数
符号
数值 (SI)
物理意义
真空中光速
c c 2.998 × 10 8 m/s 2.998 × 1 0 8 m/s 狭义相对论中的速度上限
引力常数
G G 6.674 × 10 − 11 m 3 / ( kg ⋅ s 2 ) 6.674 × 1 0 − 11 m 3 / ( kg ⋅ s 2 ) 牛顿万有引力定律中的比例常数
约化普朗克常数
ℏ = h / 2 π ℏ = h /2 π 1.055 × 10 − 34 J ⋅ s 1.055 × 1 0 − 34 J ⋅ s 量子力学中的作用量子
玻尔兹曼常数
k B k B 1.381 × 10 − 23 J/K 1.381 × 1 0 − 23 J/K 热力学中温度与能量的关系
库仑常数
k e = 1 / ( 4 π ε 0 ) k e = 1/ ( 4 π ε 0 ) 8.988 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 8.988 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 电磁相互作用强度
设定原则 ：令 c = G = ℏ = k B = k e = 1 c = G = ℏ = k B = k e = 1
在任何物理学公式中，量纲（dimension）必须保持一致。我们用 [ L ] [ L ] [ T ] [ T ] [ M ] [ M ] [ Θ ] [ Θ ]
各常数的量纲：
[ c ] = L T − 1 [ c ] = L T − 1 [ G ] = M − 1 L 3 T − 2 [ G ] = M − 1 L 3 T − 2 [ ℏ ] = M L 2 T − 1 [ ℏ ] = M L 2 T − 1 [ k B ] = M L 2 T − 2 Θ − 1 [ k B ] = M L 2 T − 2 Θ − 1 [ k e ] = M L 3 T − 2 Q − 2 [ k e ] = M L 3 T − 2 Q − 2
普朗克长度 l P l P c c G G ℏ ℏ
l P = c α G β ℏ γ l P = c α G β ℏ γ
代入量纲：
[ L ] = ( L T − 1 ) α ( M − 1 L 3 T − 2 ) β ( M L 2 T − 1 ) γ [ L ] = ( L T − 1 ) α ( M − 1 L 3 T − 2 ) β ( M L 2 T − 1 ) γ
比较左右两边：
质量 M M 0 = − β + γ 0 = − β + γ
长度 L L 1 = α + 3 β + 2 γ 1 = α + 3 β + 2 γ
时间 T T 0 = − α − 2 β − γ 0 = − α − 2 β − γ
解这个线性方程组：
从 M M β = γ β = γ
从 T T α = − 2 β − γ = − 3 γ α = − 2 β − γ = − 3 γ
从 L L 1 = − 3 γ + 3 γ + 2 γ = 2 γ 1 = − 3 γ + 3 γ + 2 γ = 2 γ γ = 1 / 2 γ = 1/2
因此 β = 1 / 2 β = 1/2 α = − 3 / 2 α = − 3/2
得到：
l P = c − 3 / 2 G 1 / 2 ℏ 1 / 2 = ℏ G c 3 l P = c − 3/2 G 1/2 ℏ 1/2 = c 3 ℏ G
代入数值：
l P = ( 1.055 × 10 − 34 ) × ( 6.674 × 10 − 11 ) ( 2.998 × 10 8 ) 3 ≈ 1.616 × 10 − 35 m l P = ( 2.998 × 1 0 8 ) 3 ( 1.055 × 1 0 − 34 ) × ( 6.674 × 1 0 − 11 ) ≈ 1.616 × 1 0 − 35 m
这是一个极其微小 的长度——约为质子直径（10 − 15 m 1 0 − 15 m 10 − 20 1 0 − 20
类似地，普朗克时间 t P t P c c G G ℏ ℏ
t P = ℏ G c 5 ≈ 5.391 × 10 − 44 s t P = c 5 ℏ G ≈ 5.391 × 1 0 − 44 s
这个时间极其短暂——光在普朗克时间内仅能传播 1.616 × 10 − 35 m 1.616 × 1 0 − 35 m
m P = ℏ c G ≈ 2.176 × 10 − 8 kg ≈ 2.18 × 10 − 8 kg m P = G ℏ c ≈ 2.176 × 1 0 − 8 kg ≈ 2.18 × 1 0 − 8 kg
这是一个令人惊讶的大小 ——普朗克质量约为 2.18 × 10 − 8 kg 2.18 × 1 0 − 8 kg 1.3 × 10 19 1.3 × 1 0 19 22 μ g 22 μ g
为什么用微观常数 G G ℏ ℏ G G 10 − 11 1 0 − 11 ℏ ℏ 10 − 34 1 0 − 34 ℏ / G ℏ/ G ℏ ℏ G G
引入玻尔兹曼常数 k B k B
T P = ℏ c 5 G k B 2 ≈ 1.417 × 10 32 K T P = G k B 2 ℏ c 5 ≈ 1.417 × 1 0 32 K
这个温度极高——宇宙大爆炸后第一个普朗克时间（t P t P 1.5 × 10 7 K 1.5 × 1 0 7 K 5.5 × 10 12 K 5.5 × 1 0 12 K
引入库仑常数 k e k e 1 / ( 4 π ε 0 ) 1/ ( 4 π ε 0 )
q P = ℏ c ⋅ 4 π ε 0 ≈ 1.876 × 10 − 18 C q P = ℏ c ⋅ 4 π ε 0 ≈ 1.876 × 1 0 − 18 C
有趣的是，基本电荷（元电荷）e ≈ 1.602 × 10 − 19 C e ≈ 1.602 × 1 0 − 19 C α α
α = e 2 4 π ε 0 ℏ c = e 2 q P 2 ≈ 1 137 α = 4 π ε 0 ℏ c e 2 = q P 2 e 2 ≈ 137 1
即元电荷约为普朗克电荷的 1 / 137 1/ 137
物理量
表达式
数值 (SI)
近似值
长度 l P l P ℏ G / c 3 ℏ G / c 3 1.616 × 10 − 35 m 1.616 × 1 0 − 35 m 1.6 × 10 − 35 m 1.6 × 1 0 − 35 m
时间 t P t P ℏ G / c 5 ℏ G / c 5 5.391 × 10 − 44 s 5.391 × 1 0 − 44 s 5.4 × 10 − 44 s 5.4 × 1 0 − 44 s
质量 m P m P ℏ c / G ℏ c / G 2.176 × 10 − 8 kg 2.176 × 1 0 − 8 kg 2.2 × 10 − 8 kg 2.2 × 1 0 − 8 kg
温度 T P T P ℏ c 5 / ( G k B 2 ) ℏ c 5 / ( G k B 2 ) 1.417 × 10 32 K 1.417 × 1 0 32 K 1.4 × 10 32 K 1.4 × 1 0 32 K
电荷 q P q P ℏ c ⋅ 4 π ε 0 ℏ c ⋅ 4 π ε 0 1.876 × 10 − 18 C 1.876 × 1 0 − 18 C 1.9 × 10 − 18 C 1.9 × 1 0 − 18 C
能量 E P = m P c 2 E P = m P c 2 ℏ c 5 / G ℏ c 5 / G 1.956 × 10 9 J 1.956 × 1 0 9 J 1.2 × 10 19 GeV 1.2 × 1 0 19 GeV
对象
长度 (m)
时间 (s)
质量 (kg)
温度 (K)
普朗克尺度 10 − 35 1 0 − 35 10 − 44 1 0 − 44 10 − 8 1 0 − 8 10 32 1 0 32
质子半径
10 − 15 1 0 − 15 —
10 − 27 1 0 − 27 —
原子尺度
10 − 10 1 0 − 10 10 − 16 1 0 − 16 10 − 26 1 0 − 26 —
人类尺度
1 1 1 1 10 2 1 0 2 300 300
地球尺度
10 7 1 0 7 10 7 1 0 7 10 24 1 0 24 10 3 1 0 3
宇宙尺度
10 26 1 0 26 10 17 1 0 17 10 53 1 0 53 10 32 1 0 32
与普朗克的比值 10 35 1 0 35 10 44 1 0 44 10 16 1 0 16 10 − 32 1 0 − 32
观察 ：普朗克质量（2.2 × 10 − 8 kg 2.2 × 1 0 − 8 kg
普朗克尺度被认为是量子引力效应变得显著 的能量/长度/时间尺度。在标准物理理论中：
广义相对论 描述了 G G 量子力学 描述了 ℏ ℏ
普朗克尺度是两者同时重要的边界——在 l P ∼ 10 − 35 m l P ∼ 1 0 − 35 m E P ∼ 10 19 GeV E P ∼ 1 0 19 GeV
具体例子 ：考虑一个能量为 E E
根据量子力学，其康普顿波长 λ C = h / ( m c ) ∝ 1 / E λ C = h / ( m c ) ∝ 1/ E
根据广义相对论，其施瓦西半径 r S = 2 G m / c 2 ∝ E r S = 2 G m / c 2 ∝ E
当 E ≈ m P c 2 E ≈ m P c 2 λ C ≈ r S λ C ≈ r S 粒子本身应当形成一个量子黑洞 。
在普朗克单位制中（c = G = ℏ = k B = 1 c = G = ℏ = k B = 1
原始公式
普朗克单位制形式
E = m c 2 E = m c 2 E = m E = m
F = G m 1 m 2 / r 2 F = G m 1 m 2 / r 2 F = m 1 m 2 / r 2 F = m 1 m 2 / r 2
E = ℏ ω E = ℏ ω E = ω E = ω
S = k B ln W S = k B ln W S = ln W S = ln W
G μ ν = 8 π G T μ ν G μν = 8 π G T μν G μ ν = 8 π T μ ν G μν = 8 π T μν
d s 2 = − c 2 d t 2 + d x 2 d s 2 = − c 2 d t 2 + d x 2 d s 2 = − d t 2 + d x 2 d s 2 = − d t 2 + d x 2
示例 ：黑洞的霍金温度公式原始形式为 T = ℏ c 3 8 π G M k B T = 8 π GM k B ℏ c 3 T = 1 8 π M T = 8 π M 1
普朗克单位与宇宙学中的几个重要关系：
黑洞熵（贝肯斯坦-霍金公式） ：
S BH = k B c 3 A 4 G ℏ = A 4 l P 2 S BH = 4 G ℏ k B c 3 A = 4 l P 2 A
即黑洞的熵等于其事件视界面积（以平方普朗克长度为单位）的四分之一。对于一个太阳质量的黑洞（M ⊙ ≈ 2 × 10 30 kg M ⊙ ≈ 2 × 1 0 30 kg 10 77 k B 1 0 77 k B
宇宙学常数问题 ：观测到的宇宙学常数 Λ ≈ 10 − 52 m − 2 Λ ≈ 1 0 − 52 m − 2 10 − 122 l P − 2 1 0 − 122 l P − 2
普朗克单位制并非唯一的自然单位制。以下是其他几种：
单位制
设常数
基本单位特征
普朗克单位制 c = G = ℏ = k B = 1 c = G = ℏ = k B = 1 量子引力标度
斯托尼单位制 c = G = e = 1 c = G = e = 1 用电子电荷代替 ℏ ℏ
施温格单位制 c = m e = e = 1 c = m e = e = 1 以电子为基准
原子单位制 ℏ = m e = e = 1 ℏ = m e = e = 1 量子化学常用
自然单位制（高能物理） c = ℏ = 1 c = ℏ = 1 1 GeV = 1 1 GeV = 1 粒子物理常用
对比示例 ：在自然单位制（高能物理）中，长度的几何单位是 GeV⁻¹：
1 GeV − 1 ≈ 1.97 × 10 − 16 m 1 GeV − 1 ≈ 1.97 × 1 0 − 16 m
这大约是质子半径的量级，非常适合描述亚原子尺度。
马克斯·普朗克在他关于黑体辐射的"h h
"这些量保持了它们的自然意义，只要引力定律、真空中光速和热力学前两定律成立，它们就必然存在于所有文化和文明中，甚至非人类文明也是如此。"
他特别强调了这些单位的普适性 和不变性 ——不像米制依赖于地球的周长，普朗克单位仅依赖于宇宙基本常数。
年份
发展
人物
1899
提出基于 c c G G h h
普朗克
1901
发表包含普朗克常数 h h
普朗克
1905
发现光速是普适极限，完善了自然单位理论
爱因斯坦
1915
广义相对论提供了 G G
爱因斯坦
1925
量子力学建立，ℏ ℏ
海森堡、薛定谔等
1950s
普朗克质量用于分析黑洞量子效应
惠勒
1970s
贝肯斯坦-霍金公式将黑洞熵与普朗克面积联系
贝肯斯坦、霍金
1990s
弦理论和量子引力在普朗克尺度寻找统一理论
威藤等
2020s
普朗克卫星对宇宙学参数的精确测量
普朗克合作组
尽管普朗克单位制在理论物理中极其重要，但它存在一些局限性：
当前人类最大的粒子加速器——大型强子对撞机（LHC）的能量约为 14 TeV ≈ 1.4 × 10 4 GeV 14 TeV ≈ 1.4 × 1 0 4 GeV 10 19 GeV 1 0 19 GeV 15 15 10 15 m 1 0 15 m 0.1 0.1
在普朗克尺度，广义相对论的经典描述失效（时空曲率发散），但完整的量子引力理论尚未建立。这意味着：
lim r → l P R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ → ∞ ( 经典理论发散 ) r → l P lim R μν ρ σ R μν ρ σ → ∞ ( 经典理论发散 )
使用量子引力的有效场论方法，这个发散可能在完整的量子引力理论中被消除。
为什么选取 c c G G ℏ ℏ
量子引力理论倾向于使用 c = G = ℏ = 1 c = G = ℏ = 1
粒子物理理论倾向于使用 c = ℏ = 1 c = ℏ = 1
量子电动力学倾向于使用 ℏ = m e = e = 1 ℏ = m e = e = 1
虽然无法直接测量普朗克长度，但实验物理学家可以通过检验洛伦兹不变性的偏移 来设置普朗克长度的上限：
实验
年份
设置的上限 (l P l P
原理
Fermi-LAT γ射线暴观测
2013
Δ c / c < 5 × 10 − 19 Δ c / c < 5 × 1 0 − 19 不同能量光子的飞行时间差
IceCube 中微子实验
2018
量子引力能标 > 10 15 GeV > 1 0 15 GeV
中微子穿越宇宙的色散效应
LIGO 引力波天文台
2019
引力波传播速度约束
GW170817 双中子星合并事件
MICROSCOPE 卫星
2020
等效原理检验
不同成分物体的加速度差
一个具体的例子 ：Fermi-LAT 望远镜观测的 GRB 090510 γ射线暴，一个 31 GeV 的光子比低能量光子晚 0.83 ms 0.83 ms 10 − 19 1 0 − 19
不同量子引力理论对普朗克尺度的处理各有不同：
理论
对普朗克尺度的预测
可检验的信号
弦理论
额外维度可能降低实际引力能量尺度
TeV 尺度微型黑洞、额外维度信号
圈量子引力
空间是"原子化"的，最小面积 ~ l P 2 l P 2
γ射线暴的极化模式
渐近安全引力
普朗克尺度引力常数 G G
高能散射截面修正
因果集理论
时空本质是离散的点集
真空色散、时间延迟
非对易几何
坐标满足 [ x μ , x ν ] = i θ μ ν [ x μ , x ν ] = i θ μν
原子物理的微小修正
普朗克质量对应一个理论上的最小黑洞 ——其施瓦西半径恰好等于其康普顿波长：
r S = 2 G m P c 2 = 2 l P ≈ 3.2 × 10 − 35 m r S = c 2 2 G m P = 2 l P ≈ 3.2 × 1 0 − 35 m
事实上，霍金辐射理论预测，质量小于普朗克质量的黑洞会不稳定地蒸发：
d M d t = − ℏ c 4 15360 π G 2 M 2 d t d M = − 15360 π G 2 M 2 ℏ c 4
代入普朗克质量 m P m P
τ ≈ 10 4 t P ≈ 5 × 10 − 40 s τ ≈ 1 0 4 t P ≈ 5 × 1 0 − 40 s
虽然极为短暂，但对于量子引力理论研究具有本质意义。
不完全正确 。普朗克长度是当前物理理论描述的有效下限——在此尺度以下，广义相对论和量子力学都失效。但：
在圈量子引力中，空间确实是量化的，面积和体积有最小非零值（~l P 2 l P 2 l P 3 l P 3
在弦理论中，弦的长度尺度约为 l s l s l P l P
在任何情况下，"空间原子"的概念都比简单的"最小长度"更复杂
因为引力极弱。普朗克能量是引力相互作用强度达到与其他基本力（电磁力、强核力）相当的能量标度。从数值上看：
F 引力 F 电磁 = G m p 2 k e e 2 ≈ 10 − 36 F 电磁 F 引力 = k e e 2 G m p 2 ≈ 1 0 − 36
对于两个质子，引力比电磁力弱约 10 36 1 0 36 10 19 1 0 19
宇宙大爆炸后的第一个普朗克时间（10 − 44 s 1 0 − 44 s 10 32 K 1 0 32 K
四种基本力（引力、电磁力、强核力、弱核力）可能是统一的
时空的量子涨落显著
经典宇宙学描述失效
不能。LHC 的最大能量约为 14 TeV 14 TeV 10 16 TeV 1 0 16 TeV
普朗克单位制是理论物理学中最深刻的洞察之一——它揭示了自然界存在一组由宇宙基本常数定义的、不依赖于人类主观选择的绝对标度 。尽管普朗克长度和普朗克时间远远超出当前实验的探测能力，但它们作为量子引力理论的天然标度，指导着弦理论、圈量子引力等前沿方向的探索。
从普朗克 1899 年的原始论文到今天，这套单位制无论在优雅性还是在物理洞察力上都经受了时间的考验。正如普朗克本人所说：这些量在任何文化和文明中都保持其意义——它们不仅仅是单位，更是宇宙的语言 。
延伸阅读 ：关于普朗克单位制与量子引力的关系，推荐阅读科普书籍《The Little Book of String Theory》（S. Gubser）以及 Carlo Rovelli 的《Reality Is Not What It Seems》。数学细节可参考 Misner, Thorne & Wheeler 的《Gravitation》第 1 章和第 43 章。