圆周率 π π （Pi）是数学中最著名的常数之一，定义为平面上圆的周长与直径之比。π π 无理数 （不能表示为两个整数之比）和超越数 （不是任何有理系数代数方程的解），其小数表示既无穷无尽又不循环。
π π 任意圆的周长 C C d d ，这个常数就是 π π
π = C d = 圆的周长 直径 π = d C = 直径 圆的周长
由此可推出圆的面积公式 ：
A = π r 2 A = π r 2
其中 r = d / 2 r = d /2
在数学分析中，π π
定义 1（三角函数零点）： π π x x sin x = 0 sin x = 0 π = min { x > 0 ∣ sin x = 0 } π = min { x > 0 ∣ sin x = 0 }
定义 2（反正切级数）：
π = 4 arctan ( 1 ) = 4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 4 ( 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ ) π = 4 arctan ( 1 ) = 4 n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 4 ( 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯ )
这就是后面的莱布尼茨公式 。
定义 3（高斯积分）：
π = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 π = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2
π π
π ≈ 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 … π ≈ 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 …
常用近似值：
近似值
精度（正确位数）
方法
3.14 3.14 3 位
常用两位小数
22 / 7 ≈ 3.142857 22/7 ≈ 3.142857 3 位
古希腊阿基米德近似
355 / 113 ≈ 3.14159292 355/113 ≈ 3.14159292 7 位
祖冲之的密率
3.1415926535 3.1415926535 11 位
实用计算精度
人类对 π π
年代
文明/人物
方法
数值精度
约前1900年
巴比伦
几何测量
3.125 3.125
约前1650年
古埃及（莱因德纸草书）
几何测量
( 16 / 9 ) 2 ≈ 3.160 ( 16/9 ) 2 ≈ 3.160
前3世纪
阿基米德
内接/外切正96边形
3.1408 3.1408 3.1429 3.1429
3世纪
刘徽
割圆术（正3072边形）
3.14159 3.14159
5世纪
祖冲之
割圆术
3.1415926 3.1415926 3.1415927 3.1415927
16世纪
阿尔·卡西
正 3.2 × 10 8 3.2 × 1 0 8
16 位小数
阿基米德的方法 奠定了计算 π π
内接正六边形 内接正十二边形
╱╲ ╱╲
╱ ╲ ╱ ╲
╱ ╲ ╱ ╲
╲ ╱ ╲ ╱
╲ ╱ ╲ ╱
╲╱ ╲╱
周长 ≈ 3.0 周长 ≈ 3.1058
阿基米德从正六边形开始（周长=3），逐步加倍边数到正96边形，得到 310 / 71 < π < 22 / 7 310/71 < π < 22/7
刘徽的割圆术 使用了更精巧的递推公式：从正六边形开始，每次求内接正 2 n 2 n π ≈ 3.14159 π ≈ 3.14159
祖冲之 将其推向极致，给出：
约率 （疏率）：π ≈ 22 / 7 π ≈ 22/7 密率 ：π ≈ 355 / 113 π ≈ 355/113
微积分的诞生为 π π 无穷级数 。
1655 年——沃利斯乘积公式：
π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 2 π = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 5 6 ⋅ 7 6 ⋅ 7 8 ⋅ 9 8 ⋯ = n = 1 ∏ ∞ 4 n 2 − 1 4 n 2
代入前几项看一下收敛有多慢：
n n 估算值
误差
10
3.002 3.002 − 0.14 − 0.14
100
3.126 3.126 − 0.015 − 0.015
1000
3.140 3.140 − 0.0014 − 0.0014
10000
3.1414 3.1414 − 0.00015 − 0.00015
收敛到 10 位小数需要约 10 10 1 0 10
1671 年——格雷果里-莱布尼茨级数：
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − ⋯
这是最简单的 π π 收敛极慢 ——需要 500 万项才能得到 6 位精度。
1706 年——马青公式（实用里程碑）：
π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 4 π = 4 arctan 5 1 − arctan 239 1
马青用反正切级数展开式，结合这个巧妙的恒等式，手动计算 π π π π
年份
人物/项目
方法
位数
1949
ENIAC（冯·诺依曼团队）
马青公式
2,037
1973
Guilloud & Bouyer
马青公式变体
1,001,250
1989
Chudnovsky 兄弟
丘德诺夫斯基算法
1,011,196,691
2002
金田康正
高斯-勒让德算法
1,241,100,000,000
2019
谷歌云（Emma Haruka Iwao）
丘德诺夫斯基算法
31,415,926,535,897
2022
瑞士研究所
丘德诺夫斯基算法
62,831,853,071,796
2024
StorageReview
丘德诺夫斯基算法
105,000,000,000,000（约105万亿）
关键转折点： 1976 年，高斯-勒让德算法 （算术几何平均法）被重新发现，其二次收敛 速度（每步精度翻倍）彻底改变了 π π π π
对应子页面：math/constants/pi/leibniz
π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ 4 π = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − ⋯
推导思路： arctan x arctan x
arctan x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ arctan x = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + ⋯
代入 x = 1 x = 1 arctan ( 1 ) = π / 4 arctan ( 1 ) = π /4
收敛速度： 截断误差 E n ≈ 1 / ( 2 n + 1 ) E n ≈ 1/ ( 2 n + 1 ) k k 10 k 1 0 k
具体示例： 计算前 10 项之和：
n n 项 a n = ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 ) a n = ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 )
部分和 S n S n
0
1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
1
− 0.333333 − 0.333333 0.666667 0.666667
2
+ 0.200000 + 0.200000 0.866667 0.866667
3
− 0.142857 − 0.142857 0.723810 0.723810
4
+ 0.111111 + 0.111111 0.834921 0.834921
5
− 0.090909 − 0.090909 0.744012 0.744012
6
+ 0.076923 + 0.076923 0.820935 0.820935
7
− 0.066667 − 0.066667 0.754268 0.754268
8
+ 0.058824 + 0.058824 0.813091 0.813091
9
− 0.052632 − 0.052632 0.760460 0.760460
S 9 × 4 ≈ 3.0418 S 9 × 4 ≈ 3.0418 π π 3.1416 3.1416 0.1 0.1
对应子页面：math/constants/pi/basel
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + ⋯ = π 2 6 n = 1 ∑ ∞ n 2 1 = 1 + 4 1 + 9 1 + 16 1 + 25 1 + ⋯ = 6 π 2
历史意义： 17 世纪的数学家们（包括欧拉的前辈们）都无法求出这个看似简单的级数之和。1734 年，23 岁的欧拉 用天才般的洞察力解决了这个问题——他利用正弦函数的无穷乘积展开：
sin x = x ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) ⋯ sin x = x ( 1 − π 2 x 2 ) ( 1 − 4 π 2 x 2 ) ( 1 − 9 π 2 x 2 ) ⋯
将 sin x / x sin x / x
1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + ⋯ = π 2 6 1 + 4 1 + 9 1 + 16 1 + ⋯ = 6 π 2
数值示例：
前 n n
部分和 S n S n
6 S n 6 S n π π
1
1.000 1.000 2.449 2.449
3
1.361 1.361 2.858 2.858
10
1.550 1.550 3.049 3.049
100
1.635 1.635 3.132 3.132
1000
1.6439 1.6439 3.1406 3.1406
∞ ∞ 1.644934 … 1.644934 … 3.1415926 … 3.1415926 …
对应子页面：math/constants/pi/ramanujan
印度天才数学家斯里尼瓦萨·拉马努金 （1887–1920）在 1914 年发表了一系列惊人的 π π
1 π = 2 2 9801 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( 1103 + 26390 n ) ( n ! ) 4 ⋅ 396 4 n π 1 = 9801 2 2 n = 0 ∑ ∞ ( n ! ) 4 ⋅ 39 6 4 n ( 4 n )! ( 1103 + 26390 n )
革命性特点： 每增加一项，精度增加 8 位小数 ！只需前 2 项就足以达到 10 − 15 1 0 − 15
收敛速度演示：
n n 贡献值
累积 π π
1
3.141592730013306 3.141592730013306 6 位正确
2
3.141592653589794 3.141592653589794 14 位正确
3
3.141592653589793 3.141592653589793 16 位全部正确
拉马努金没有给出推导过程，只说他梦到了这些公式。直到 1980 年代，数学家们才用椭圆积分 和模函数 理论完整证明了它们。
对应子页面：math/constants/pi/chudnovsky
大卫·丘德诺夫斯基 和格里高利·丘德诺夫斯基 兄弟在 1989 年改进的拉马努金公式：
1 π = 12 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 6 n ) ! ( 13591409 + 545140134 n ) ( 3 n ) ! ( n ! ) 3 ⋅ 640320 3 n + 3 / 2 π 1 = 12 n = 0 ∑ ∞ ( 3 n )! ( n ! ) 3 ⋅ 64032 0 3 n + 3/2 ( − 1 ) n ( 6 n )! ( 13591409 + 545140134 n )
核心优势： 每项增加 ≈ 14 ≈ 14 π π 最实用算法 ，几乎所有现代 π π
为什么如此高效：
算法
每步新增位数
计算 10 1 2 1 0 1 2
莱布尼茨级数
0 0 约 10 12 1 0 12
马青公式
0 0 约 10 12 1 0 12
高斯-勒让德
翻倍（二次）
约 40 40
丘德诺夫斯基
14 14 约 10 11 / 14 1 0 11 /14
实际上丘德诺夫斯基算法需要 O ( n ) O ( n ) n n 快速傅里叶变换 的乘法优化，整体复杂度为 O ( n log 3 n ) O ( n log 3 n )
实现概要（伪代码）：
function Chudnovsky(位数 N):
K = 6
M = 1
X = 1
L = 13591409
S = 13591409
for k = 1 to N/14:
M = M * (K^3 - 16K) / k^3 # 递推分子
K = K + 12
L = L + 545140134
X = X * -262537412640768000
S = S + M * L / X # 高精度算术
1/π = 12 * S / (640320^(3/2))
return π
对应子页面：math/constants/pi/bbp
1995 年，西蒙·普劳夫发现了具有革命性意义的公式：
π = ∑ n = 0 ∞ 1 16 n ( 4 8 n + 1 − 2 8 n + 4 − 1 8 n + 5 − 1 8 n + 6 ) π = n = 0 ∑ ∞ 1 6 n 1 ( 8 n + 1 4 − 8 n + 4 2 − 8 n + 5 1 − 8 n + 6 1 )
革命性特性： 可以直接计算 π π n n ，而不需要计算前面的所有位！
使用BBP 提取算法 ：
function BBP_digit(n):
# 计算 π 第 n 位十六进制数字
sum = 0
for k = 0 to n:
# 使用模幂运算，只需有限精度
sum += (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 1/(8k+6)) * 16^(n-k) mod (8k+1)
sum = fractional_part(sum)
return integer_part(sum * 16) # 第 n 位十六进制数字
验证示例： π π
小数位
十进制
十六进制
0
3 3 3.
1
.14159 … .14159 … `.243F6A88\ldots$
π π 9（2000 年验证），BBP 公式证明了这些数字可以通过分布式计算独立验证。
意义： BBP 公式也意味着 π π π π
对应子页面：math/constants/pi/gauss-legendre
也叫算术几何平均法（AGM） ，是世界上最优雅的 π π 二次收敛 速度。
算法步骤：
1. 初始化：
a₀ = 1
b₀ = 1/√2
t₀ = 1/4
p₀ = 1
2. 迭代直到收敛：
a_{n+1} = (a_n + b_n) / 2 # 算术平均
b_{n+1} = √(a_n × b_n) # 几何平均
t_{n+1} = t_n - p_n × (a_n - a_{n+1})²
p_{n+1} = 2 × p_n
3. 输出：
π ≈ (a_{n+1} + b_{n+1})² / (4 × t_{n+1})
收敛速度惊人：
迭代次数 n n
估算 π π
正确位数
较上步新增位数
0
2.9142 2.9142 0
-
1
3.1406 3.1406 3
3
2
3.14159265 3.14159265 8
5
3
3.14159265358979324 3.14159265358979324 17
9
4
3.1415926535897932384626433832795 3.1415926535897932384626433832795 35
18
5
—
70
35
6
—
140
70
7
—
280
140
8
—
560
280
9
—
1120
560
10
—
2240
1120
每步精度翻倍！ 仅需约 log 2 ( N ) log 2 ( N ) N N
一次具体迭代的完整计算：
取 a 0 = 1.0 a 0 = 1.0 b 0 = 0.7071067811865475 b 0 = 0.7071067811865475
n n a n a n b n b n t n t n 估算 π π
0
1.0000000000000000 1.0000000000000000 0.7071067811865475 0.7071067811865475 0.25000000 0.25000000 2.91421356 2.91421356
1
0.8535533905932737 0.8535533905932737 0.8408964152537145 0.8408964152537145 0.22855339 0.22855339 3.14057925 3.14057925
2
0.8472249029234941 0.8472249029234941 0.8472012667468915 0.8472012667468915 0.22783217 0.22783217 3.14159264 3.14159264
对应子页面：math/constants/pi/monte-carlo
利用随机采样和统计估算来逼近 π π
基本原理： 在边长为 2 的正方形中内接一个半径为 1 的圆。两者面积之比为：
A 圆 A 正方形 = π r 2 ( 2 r ) 2 = π 4 A 正方形 A 圆 = ( 2 r ) 2 π r 2 = 4 π
因此 π ≈ 4 × 落在圆内的点数 总采样点数 π ≈ 4 × 总采样点数 落在圆内的点数
正方形边界 举例：随机点分布
┌──────────┐
│ ╱╲ │ ⚪ ⚪ ⚪ ⚪ ⚪ ⚪
│ ╱ ╲ │ ⚪ ● ● ● ● ⚪ ⚪
│ ╱ ╱╲ ╲│ ⚪ ● ● ● ● ● ⚪
│ ╲ ╲╱ ╱│ ⚪ ● ● ● ● ⚪ ⚪
│ ╲ ╱ │ ⚪ ⚪ ⚪ ● ⚪ ⚪
│ ╲╱ │
└──────────┘
⚪ = 落在圆外 ● = 落在圆内
模拟结果：
采样点数
圆内点数
估算 π π
误差
100
79
3.1600 3.1600 + 0.018 + 0.018
1,000
789
3.1560 3.1560 + 0.014 + 0.014
10,000
7,856
3.1424 3.1424 + 0.001 + 0.001
100,000
78,547
3.1419 3.1419 − 0.0003 − 0.0003
1,000,000
785,394
3.141576 3.141576 − 0.000017 − 0.000017
收敛速度： 蒙特卡洛方法的误差按 O ( 1 / N ) O ( 1/ N ) π π 高维数值积分 和物理模拟 中极其重要。
对应子页面：math/constants/pi/integral
π π
最经典的高斯积分：
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
单位圆面积：
π = ∫ − 1 1 2 1 − x 2 d x π = ∫ − 1 1 2 1 − x 2 d x
极坐标表示： 单位圆的面积为 π π
π = ∫ 0 2 π 1 2 r 2 ( θ ) d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ π = ∫ 0 2 π 2 1 r 2 ( θ ) d θ = ∫ 0 2 π 2 1 d θ
其他积分表示：
π = ∫ 0 1 4 1 + x 2 d x （由 arctan x 得到） π = ∫ 0 1 1 + x 2 4 d x （由 arctan x 得到）
π = ∫ 0 ∞ 2 1 + x 2 d x π = ∫ 0 ∞ 1 + x 2 2 d x
π = ∫ 0 1 4 1 − x 2 d x （单位半圆的弧长） π = ∫ 0 1 1 − x 2 4 d x （单位半圆的弧长）
数值验证： 用梯形法则计算 ∫ 0 1 4 / ( 1 + x 2 ) d x ∫ 0 1 4/ ( 1 + x 2 ) d x
分区数 n n
数值积分结果
与 π π
4
3.1312 3.1312 − 0.0104 − 0.0104
10
3.1399 3.1399 − 0.0017 − 0.0017
100
3.141575 3.141575 − 1.7 × 10 − 5 − 1.7 × 1 0 − 5
1000
3.1415925 3.1415925 − 1.7 × 10 − 7 − 1.7 × 1 0 − 7
数学史上最美的公式 将五个最重要的数学常数联系在一起：
e i π + 1 = 0 e iπ + 1 = 0
其中 e e i i π π e i θ = cos θ + i sin θ e i θ = cos θ + i sin θ θ = π θ = π
π π
π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + ⋯ π = 3 + 7 + 15 + 1 + 292 + 1 + ⋯ 1 1 1 1 1
前几个收敛分数：
阶数 n n
连分数收敛
十进制值
0
3 / 1 3/1 3 3
1
22 / 7 22/7 3.142857 … 3.142857 …
2
333 / 106 333/106 3.141509 … 3.141509 …
3
355 / 113 355/113 3.14159292 … 3.14159292 …
4
103993 / 33102 103993/33102 3.141592653 … 3.141592653 …
1761 年 ：Johann Lambert 证明 π π p / q p / q 1882 年 ：Ferdinand von Lindemann 证明 π π
超越性的重要推论： 鉴于 π π 化圆为方 （用尺规作图作出一个与给定圆面积相同的正方形）是不可能的。这个问题困扰了数学家两千多年，最终被超越数理论彻底解决。
圆周长：C = 2 π r C = 2 π r
圆面积：A = π r 2 A = π r 2
球体积：V = 4 3 π r 3 V = 3 4 π r 3
球表面积：A = 4 π r 2 A = 4 π r 2
三角函数周期：sin ( x + 2 π ) = sin x sin ( x + 2 π ) = sin x
正态分布（高斯分布）的概率密度函数：
f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f ( x ) = σ 2 π 1 e − 2 σ 2 ( x − μ ) 2
π π
布丰投针问题（Buffon's Needle）： 在间距为 d d l l
P = 2 l π d P = π d 2 l
这是历史上第一个用概率论计算 π π
领域
公式
说明
简谐振动
ω = 2 π f ω = 2 π f 角频率与频率关系
电磁学
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E 麦克斯韦方程组中的 4 π 4 π
量子力学
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 Δ x Δ p ≥ 2 ℏ 海森堡测不准原理（ℏ = h / 2 π ℏ = h /2 π
广义相对论
G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν G μν = c 4 8 π G T μν 爱因斯坦场方程
信号处理
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x 傅里叶变换
考虑半径为 R R L L Δ P Δ P
Q = π R 4 Δ P 8 η L Q = 8 η L π R 4 Δ P
其中 η η R R
数值示例： 一根半径为 1 cm 的动脉血管：
半径（mm）
流量比例
实际含义
10
1.0 1.0 正常血流
8
0.41 0.41 堵塞 20%，流量下降 59%
5
0.0625 0.0625 堵塞 50%，流量下降 93.75%
这个例子生动解释了为什么动脉斑块的微小积累会导致严重的血流阻塞。
每年 3 月 14 日 （3/14）是国际 π π 拉里·肖 于 1988 年发起。这一天也是爱因斯坦的生日。
普通人：3.14159 3.14159
日本记忆大师原口昌晃 ：2006 年背诵 π π
目前世界纪录：Rajveer Meena （2015 年）背诵到 70,030 位
对 π π
数字
出现次数
占比
0
99,959
9.996 % 9.996%
1
99,758
9.976 % 9.976%
2
100,026
10.003 % 10.003%
3
100,229
10.023 % 10.023%
4
100,230
10.023 % 10.023%
5
100,359
10.036 % 10.036%
6
99,548
9.955 % 9.955%
7
99,800
9.980 % 9.980%
8
99,985
9.999 % 9.999%
9
100,106
10.011 % 10.011%
各数字出现频率接近 10 % 10% π π π π 正规性 尚未被严格证明）。
记忆 π π
"How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! "
中文记忆法（按每字笔画）：
"山顶一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐 "
本文的许多子主题有专门的页面提供更深的讨论：
参考文献：
Arndt, J. & Haenel, C. (2001). Pi – Unleashed . Springer.
Beckmann, P. (1971). A History of Pi . St. Martin's Press.
Bailey, D. H., Borwein, P. B., & Plouffe, S. (1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants". Mathematics of Computation , 66(218), 903–913.
Chudnovsky, D. V. & Chudnovsky, G. V. (1989). "The Computation of Classical Constants". Proceedings of the National Academy of Sciences , 86(21), 8178–8182.
Berggren, L., Borwein, J., & Borwein, P. (2004). Pi: A Source Book (3rd ed.). Springer.