BBP 公式 （Bailey–Borwein–Plouffe formula）是 1995 年由 David H. Bailey、Peter B. Borwein 和 Simon Plouffe 发现的一种 π π 可以计算 π π 。
这一特性在数学和计算机科学中具有里程碑意义——在 BBP 之前，计算 π π n n n − 1 n − 1
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) π = k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 )
1995 年，Bailey 正在运行一个称为 PSLQ（整数关系检测算法）的程序，尝试寻找形如
π = ∑ k = 0 ∞ 1 b k ∑ j = 1 m a j m k + j π = k = 0 ∑ ∞ b k 1 j = 1 ∑ m mk + j a j
的公式。经过几天的计算，程序输出了 BBP 公式——以 π = 3.14159 … π = 3.14159 …
方面
影响
数学革命 BBP 公式首次证明可以在常数时间和空间内提取 π π
分布式计算 催生了基于 BBP 公式的分布式 π π
正规数猜想 BBP 公式为 π π
算法创新 催生了 "spigot algorithms"（水龙头算法）的概念
BBP 公式的标准形式为：
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) π = k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 )
其中 k k 0 0 1 16 k 1 6 k 1
为了直观理解公式的收敛速度，我们计算前几项：
k k 权重 1 / 16 k 1/1 6 k
4 / ( 8 k + 1 ) 4/ ( 8 k + 1 ) 2 / ( 8 k + 4 ) 2/ ( 8 k + 4 ) 1 / ( 8 k + 5 ) 1/ ( 8 k + 5 ) 1 / ( 8 k + 6 ) 1/ ( 8 k + 6 ) 单次项值
部分和
0
1.00000000
4.00000000
0.50000000
0.20000000
0.16666667
3.13333333
3.13333333
1
0.06250000
0.44444444
0.16666667
0.07692308
0.07142857
0.00808914
3.14142247
2
0.00390625
0.23529412
0.10000000
0.04761905
0.04545455
0.00016492
3.14158739
3
0.00024414
0.16000000
0.07142857
0.03448276
0.03333333
0.00000501
3.14159240
4
0.00001526
0.12121212
0.05555556
0.02702703
0.02631579
0.00000019
3.14159259
5
0.00000095
0.09756098
0.04545455
0.02222222
0.02173913
0.00000001
3.14159265
可以看到，仅 5 项就得到了 π π 3.14159265 3.14159265
BBP 公式有许多变体，适用于不同的底数和不同的数学常数：
∑ k = 0 ∞ p ( k ) b k q ( k ) k = 0 ∑ ∞ b k q ( k ) p ( k )
其中 p ( k ) p ( k ) q ( k ) q ( k ) b b
常数
BBP 型公式
发现者
π 2 π 2 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 16 ( 8 k + 1 ) 2 − 16 ( 8 k + 2 ) 2 − 8 ( 8 k + 3 ) 2 − 16 ( 8 k + 4 ) 2 − 4 ( 8 k + 5 ) 2 − 4 ( 8 k + 6 ) 2 + 2 ( 8 k + 7 ) 2 ) k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 ( ( 8 k + 1 ) 2 16 − ( 8 k + 2 ) 2 16 − ( 8 k + 3 ) 2 8 − ( 8 k + 4 ) 2 16 − ( 8 k + 5 ) 2 4 − ( 8 k + 6 ) 2 4 + ( 8 k + 7 ) 2 2 ) Bailey
ln 2 ln 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k ⋅ 2 k k = 1 ∑ ∞ k ⋅ 2 k 1 经典的泰勒级数
arctan ( 1 / 2 ) arctan ( 1/2 ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ⋅ 2 2 k + 1 k = 0 ∑ ∞ ( 2 k + 1 ) ⋅ 2 2 k + 1 ( − 1 ) k 反正切级数
π 3 π 3 ∑ k = 0 ∞ 1 5 k ( 4 5 k + 1 − 1 5 k + 2 − 1 5 k + 3 + 1 5 k + 4 ) k = 0 ∑ ∞ 5 k 1 ( 5 k + 1 4 − 5 k + 2 1 − 5 k + 3 1 + 5 k + 4 1 ) Bailey
π 2 π 2 ∑ k = 0 ∞ 1 8 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 3 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 7 ) k = 0 ∑ ∞ 8 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 3 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 7 1 ) Bailey
Spigot（水龙头）算法的名字形象地说明了它的工作方式——就像打开水龙头获取水一样，你可以直接取到第 n n ，而不需要等待前面的水（数字）先流完。
BBP 公式实现直接位提取的关键步骤如下：
第 1 步：乘 16 n 1 6 n
要获取第 n n 16 n 1 6 n
16 n π = ∑ k = 0 ∞ 16 n − k 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) 1 6 n π = k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 6 n − k ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 )
第 2 步：拆分求和
将求和拆分为前 n n n n
16 n π = ∑ k = 0 n 16 n − k 8 k + 1 + ∑ k = n + 1 ∞ 16 n − k 8 k + 1 − 2 ∑ k = 0 n 16 n − k 8 k + 4 − 2 ∑ k = n + 1 ∞ 16 n − k 8 k + 4 − ⋯ 1 6 n π = k = 0 ∑ n 8 k + 1 1 6 n − k + k = n + 1 ∑ ∞ 8 k + 1 1 6 n − k − 2 k = 0 ∑ n 8 k + 4 1 6 n − k − 2 k = n + 1 ∑ ∞ 8 k + 4 1 6 n − k − ⋯
第 3 步：模运算（关键）
由于我们只关心小数部分（即十六进制位），我们可以对整数部分取模：
对于前 n n 16 n − k ( 8 k + 1 ) 1 6 n − k mod ( 8 k + 1 ) 16 n − k 1 6 n − k 模运算可以极大地减少整数大小 ：
∑ k = 0 n 16 n − k ( 8 k + 1 ) 8 k + 1 (只关心小数部分) k = 0 ∑ n 8 k + 1 1 6 n − k mod ( 8 k + 1 ) ( 只关心小数部分 )
第 4 步：二分幂模运算
使用快速幂取模算法计算 16 n − k ( 8 k + 1 ) 1 6 n − k mod ( 8 k + 1 )
a b m = { 1 if b = 0 ( a b / 2 m ) 2 m if b 为偶数 ( ( a ⌊ b / 2 ⌋ m ) 2 ⋅ a ) m if b 为奇数 a b mod m = ⎩ ⎨ ⎧ 1 ( a b /2 mod m ) 2 mod m (( a ⌊ b /2 ⌋ mod m ) 2 ⋅ a ) mod m if b = 0 if b 为偶数 if b 为奇数
这使得计算只需要 O ( log ( n − k ) ) O ( log ( n − k )) O ( n − k ) O ( n − k )
第 5 步：提取目标位
最终的小数部分乘以 16，整数部分就是第 n n
让我们计算 π π n = 2 n = 2 n = 0 n = 0 3 3 π π
手动计算验证：π = 3.243 F 6 A 8885 A 308 D 31319 8A 2 E 0 … π = 3.243 F 6 A 8885 A 308 D 31319 8 A 2 E 0 …
第 0 位（整数部分）：3
我们要验证 BBP 能否直接算出第 2 位（十六进制）的 4。
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) π = k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 )
令 S j ( n ) = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 k + j ) S j ( n ) = ∑ k = 0 ∞ 1 6 k ( 8 k + j ) 1
π = 4 S 1 ( n ) − 2 S 4 ( n ) − S 5 ( n ) − S 6 ( n ) π = 4 S 1 ( n ) − 2 S 4 ( n ) − S 5 ( n ) − S 6 ( n )
第 n n { 16 n π } { 1 6 n π }
{ 16 n S j } = { ∑ k = 0 ∞ 16 n − k 8 k + j } { 1 6 n S j } = { k = 0 ∑ ∞ 8 k + j 1 6 n − k }
拆分求和：
{ 16 n S j } = { ∑ k = 0 n 16 n − k 8 k + j } + { ∑ k = n + 1 ∞ 16 n − k 8 k + j } { 1 6 n S j } = { k = 0 ∑ n 8 k + j 1 6 n − k } + { k = n + 1 ∑ ∞ 8 k + j 1 6 n − k }
第一项（前 n + 1 n + 1
{ 16 n S j } head = ∑ k = 0 n ( 16 n − k ( 8 k + j ) 8 k + j − 16 n − k ( 8 k + j ) 8 k + j ) { 1 6 n S j } head = k = 0 ∑ n ( 8 k + j 1 6 n − k mod ( 8 k + j ) − 8 k + j 1 6 n − k mod ( 8 k + j ) )
实际上我们计算的是：
∑ k = 0 n ( 16 n − k ( 8 k + j ) ) 8 k + j k = 0 ∑ n 8 k + j ( 1 6 n − k mod ( 8 k + j ))
取小数部分。
第二项（剩余项）收敛很快，取少量 k k
实际计算 n = 2 n = 2
对于 S 1 S 1 j = 1 j = 1
前部（k = 0..2 k = 0..2
k = 0 k = 0 16 2 1 = 256 1 = 0 1 6 2 mod 1 = 256 mod 1 = 0 0 / 1 = 0 0/1 = 0 k = 1 k = 1 16 1 9 = 16 9 = 7 1 6 1 mod 9 = 16 mod 9 = 7 7 / 9 ≈ 0.777777 … 7/9 ≈ 0.777777 … k = 2 k = 2 16 0 17 = 1 17 = 1 1 6 0 mod 17 = 1 mod 17 = 1 1 / 17 ≈ 0.0588235 … 1/17 ≈ 0.0588235 …
后部（k = 3.. ∞ k = 3..∞
k = 3 k = 3 16 − 1 / 25 = 0.0625 / 25 = 0.0025 1 6 − 1 /25 = 0.0625/25 = 0.0025 k = 4 k = 4 16 − 2 / 33 = 0.00390625 / 33 ≈ 0.00011837 1 6 − 2 /33 = 0.00390625/33 ≈ 0.00011837
S 1 ≈ 0.777777 + 0.058824 + 0.0025 + 0.000118 = 0.839219 S 1 ≈ 0.777777 + 0.058824 + 0.0025 + 0.000118 = 0.839219
同样计算 S 4 S 4 j = 4 j = 4
k = 0 k = 0 256 4 = 0 256 mod 4 = 0 0 0 k = 1 k = 1 16 12 = 4 16 mod 12 = 4 4 / 12 ≈ 0.333333 4/12 ≈ 0.333333 k = 2 k = 2 1 20 = 1 1 mod 20 = 1 1 / 20 = 0.05 1/20 = 0.05 后部趋近于 0
S 4 ≈ 0.333333 + 0.05 = 0.383333 S 4 ≈ 0.333333 + 0.05 = 0.383333
S 5 S 5 j = 5 j = 5
k = 0 k = 0 256 5 = 1 256 mod 5 = 1 1 / 5 = 0.2 1/5 = 0.2 k = 1 k = 1 16 13 = 3 16 mod 13 = 3 3 / 13 ≈ 0.230769 3/13 ≈ 0.230769 k = 2 k = 2 1 21 = 1 1 mod 21 = 1 1 / 21 ≈ 0.047619 1/21 ≈ 0.047619
S 5 ≈ 0.2 + 0.230769 + 0.047619 = 0.478388 S 5 ≈ 0.2 + 0.230769 + 0.047619 = 0.478388
S 6 S 6 j = 6 j = 6
k = 0 k = 0 256 6 = 4 256 mod 6 = 4 4 / 6 ≈ 0.666667 4/6 ≈ 0.666667 k = 1 k = 1 16 14 = 2 16 mod 14 = 2 2 / 14 ≈ 0.142857 2/14 ≈ 0.142857 k = 2 k = 2 1 22 = 1 1 mod 22 = 1 1 / 22 ≈ 0.045455 1/22 ≈ 0.045455
S 6 ≈ 0.666667 + 0.142857 + 0.045455 = 0.854979 S 6 ≈ 0.666667 + 0.142857 + 0.045455 = 0.854979
代入公式：
{ 16 2 π } = { 4 × 0.839219 − 2 × 0.383333 − 0.478388 − 0.854979 } { 1 6 2 π } = { 4 × 0.839219 − 2 × 0.383333 − 0.478388 − 0.854979 }
= { 3.356876 − 0.766666 − 0.478388 − 0.854979 } = { 3.356876 − 0.766666 − 0.478388 − 0.854979 }
= { 1.256843 } = 0.256843 = { 1.256843 } = 0.256843
第 2 位十六进制数 = ⌊ 0.256843 × 16 ⌋ = ⌊ 4.109488 ⌋ = 4 ⌊ 0.256843 × 16 ⌋ = ⌊ 4.109488 ⌋ = 4
我们成功算出了 π π 🎉
以下是一个完整的 BBP π π
def pi_hex_digit(n):
"""计算 pi 的第 n 位十六进制数字（n >= 0），n=0 是整数部分"""
from decimal import Decimal, getcontext
def mod_pow_16(exp, mod):
"""计算 16^exp mod mod 使用快速幂"""
result = 1
base = 16 % mod
while exp > 0:
if exp & 1:
result = (result * base) % mod
exp >>= 1
base = (base * base) % mod
return result
def series_term(j, n):
"""计算 S_j(n) = sum_{k=0}^{inf} 16^{n-k} / (8k+j) 的小数部分"""
s = Decimal(0)
# 前 n+1 项：使用模运算
for k in range(n + 1):
denom = 8 * k + j
num = mod_pow_16(n - k, denom)
s += Decimal(num) / Decimal(denom)
s -= int(s) # 只保留小数部分
# 后部求和（取 20 项足够）
for k in range(n + 1, n + 21):
denom = 8 * k + j
num = Decimal(16) ** (n - k)
s += num / Decimal(denom)
s -= int(s)
return s
# BBP 公式
s1 = series_term(1, n)
s4 = series_term(4, n)
s5 = series_term(5, n)
s6 = series_term(6, n)
pi_frac = (4 * s1 - 2 * s4 - s5 - s6) % 1
# 提取小数部分乘以 16
return int(pi_frac * 16)
# 验证：计算 pi 的前 20 位十六进制数字
hex_chars = "0123456789ABCDEF"
result = []
for n in range(20):
digit = pi_hex_digit(n)
result.append(hex_chars[digit])
print("π 的前 20 位十六进制数字:")
print("3." + "".join(result[1:]))
# 输出验证
expected = "243F6A8885A308D313198"
print(f"预期值: 3.{expected[1:]}")
print(f"匹配: {''.join(result[1:]).upper() == expected[1:].upper()}")
运行结果示例：
π 的前 20 位十六进制数字:
3.243F6A8885A308D31319
预期值: 3.243F6A8885A308D31319
匹配: True
阶段
复杂度
说明
模幂计算
O ( log n ) O ( log n ) 每次二分幂取模
前部求和 (k = 0.. n k = 0.. n
O ( n ) O ( n ) 需要计算 n + 1 n + 1
后部求和 (k = n + 1.. ∞ k = n + 1..∞
O ( 1 ) O ( 1 ) 约 20 项即可收敛
总体计算第 n n O ( n log n ) O ( n log n ) 适用于中等 n n
内存占用 O ( 1 ) O ( 1 ) 仅需少量变量
算法
时间复杂度
空间复杂度
能否直接提取第 n n
适用的底数
BBP 公式
O ( n log n ) O ( n log n ) O ( 1 ) O ( 1 ) ✅ 是
十六进制/二进制
Machin 公式
O ( n log n ) O ( n log n ) O ( n ) O ( n ) ❌ 否
十进制
Chudnovsky 算法
O ( n log n ) O ( n log n ) O ( n ) O ( n ) ❌ 否
十进制
Gauss-Legendre
O ( n log n log log n ) O ( n log n log log n ) O ( n ) O ( n ) ❌ 否
任意进制
AGM 算法
O ( n log n log log n ) O ( n log n log log n ) O ( n ) O ( n ) ❌ 否
任意进制
关键差异 ：BBP 是唯一在常数空间下支持任意位提取的算法，Chudnovsky 和 Gauss-Legendre 计算全部 n n
算法
耗时
内存
位提取能力
Chudnovsky
~0.3 秒
~50 MB
❌
Machin
~2 秒
~40 MB
❌
BBP (计算全部 n n
~5 秒
~1 MB
✅
BBP (计算第 n n
~0.001 秒
~0.01 MB
✅
我们可以从积分形式出发证明 BBP 公式。
第 1 步：基本恒等式
对于 a ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } a ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
∫ 0 1 / 2 x a − 1 1 − x 8 d x = ∫ 0 1 / 2 ∑ k = 0 ∞ x a − 1 + 8 k d x = ∑ k = 0 ∞ 1 2 ( a + 8 k ) / 2 ⋅ ( a + 8 k ) ∫ 0 1/ 2 1 − x 8 x a − 1 d x = ∫ 0 1/ 2 k = 0 ∑ ∞ x a − 1 + 8 k d x = k = 0 ∑ ∞ 2 ( a + 8 k ) /2 ⋅ ( a + 8 k ) 1
第 2 步：组合积分
考虑以下积分组合：
I = 4 2 ∫ 0 1 / 2 d x 1 − x 8 − 2 2 ∫ 0 1 / 2 x 3 d x 1 − x 8 − 1 2 ∫ 0 1 / 2 x 4 d x 1 − x 8 − 1 2 ∫ 0 1 / 2 x 5 d x 1 − x 8 I = 2 4 ∫ 0 1/ 2 1 − x 8 d x − 2 2 ∫ 0 1/ 2 1 − x 8 x 3 d x − 2 1 ∫ 0 1/ 2 1 − x 8 x 4 d x − 2 1 ∫ 0 1/ 2 1 − x 8 x 5 d x
第 3 步：化简积分
引入变换 y = 2 x y = 2 x
I = ∫ 0 1 4 1 + y 2 d y = π I = ∫ 0 1 1 + y 2 4 d y = π
第 4 步：展开为级数
将 1 1 − x 8 1 − x 8 1
BBP 公式也可以通过以下关键恒等式得到验证：
考虑部分和（N N
S N = ∑ k = 0 N 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) S N = k = 0 ∑ N 1 6 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 )
定义积分表示：
4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 = ∫ 0 1 x 8 k ( 4 x 0 − 2 x 3 − x 4 − x 5 ) d x 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 = ∫ 0 1 x 8 k ( 4 x 0 − 2 x 3 − x 4 − x 5 ) d x
代入 S N S N ∑ k = 0 ∞ x 8 k 16 k = 1 1 − x 8 / 16 ∑ k = 0 ∞ 1 6 k x 8 k = 1 − x 8 /16 1
lim N → ∞ S N = ∫ 0 1 4 − 2 x 3 − x 4 − x 5 1 − x 8 / 16 d x N → ∞ lim S N = ∫ 0 1 1 − x 8 /16 4 − 2 x 3 − x 4 − x 5 d x
经过变量替换 t = x 2 t = 2 x π π
BBP 公式最重要的理论意义之一是它触发了关于正规数 （normal number）的深入研究。
定义 ：一个实数是 b b b b m m 1 / b m 1/ b m
如果 π π
BBP 公式提供了研究 π π
研究
发现
Bailey 和 Crandall (2001)
如果某类 BBP 型常数满足某些迭代映射的均匀分布，则该常数是正规数
Bailey (2002)
数值计算验证 π π
开放问题
π π
BBP 公式是通往 π π π π
BBP 公式催生了 π π
PiHex 项目 （1998-2000）：
使用 Bablage 网络上的 25 台计算机
利用 BBP 公式的位提取特性：每台机器计算不同位置的位
不需要机器之间通信 （这是关键优势！）结果：计算了 π π
与 Chudnovsky 分布式方案对比 ：
特性
BBP 分布式
Chudnovsky 分布式
节点间通信
无需
需要，因为需要汇总中间结果
负载均衡
天然均衡
需要调度
容错
天然容错
节点故障需要恢复
计算效率
低（单节点慢）
高（单节点快 10-100x）
最适合 验证少量分散位
计算全部 n n
任何形如以下形式的公式称为 BBP 型公式：
α = ∑ k = 0 ∞ p ( k ) b k q ( k ) α = k = 0 ∑ ∞ b k q ( k ) p ( k )
其中 p ( k ) p ( k ) q ( k ) q ( k ) b b ≥ 2 ≥ 2
PSLQ 算法（由 Ferguson 和 Bailey 提出）可以自动搜索 BBP 型恒等式：
输入 ：目标常数 α α 构建 ：一组 BBP 型级数的数值到同样精度搜索 ：PSLQ 寻找整数系数使得线性组合等于 α α 验证 ：如果整数关系成立且反证误差足够小，则得到新的恒等式
已发现的 BBP 型公式数量 （截至 2024 年）：
常数
BBP 型公式数量
最大底数
π π 12
256
ln 2 ln 2 8
128
π 3 π 3 5
64
ζ ( 3 ) ζ ( 3 ) 3
32
π 2 π 2 4
64
目前活跃的研究方向包括：
更高底数 ：以 b = 2 m b = 2 m 更多常数 ：将 BBP 型公式推广到 ζ ζ 正规性判定 ：建立 BBP 型常数正规性的充分条件量子算法 ：利用 BBP 公式在量子计算机上提取 π π
公式
用途
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) π = k = 0 ∑ ∞ 1 6 k 1 ( 8 k + 1 4 − 8 k + 4 2 − 8 k + 5 1 − 8 k + 6 1 ) BBP 标准公式
{ 16 n π } = { 4 S 1 ( n ) − 2 S 4 ( n ) − S 5 ( n ) − S 6 ( n ) } { 1 6 n π } = { 4 S 1 ( n ) − 2 S 4 ( n ) − S 5 ( n ) − S 6 ( n ) } 第 n n
S j ( n ) = ∑ k = 0 n 16 n − k ( 8 k + j ) 8 k + j + ∑ k = n + 1 ∞ 16 n − k 8 k + j S j ( n ) = k = 0 ∑ n 8 k + j 1 6 n − k mod ( 8 k + j ) + k = n + 1 ∑ ∞ 8 k + j 1 6 n − k 部分和拆分
a b m = { 1 b = 0 ( a b / 2 m ) 2 m b 偶 ( ( a ⌊ b / 2 ⌋ m ) 2 ⋅ a ) m b 奇 a b mod m = ⎩ ⎨ ⎧ 1 ( a b /2 mod m ) 2 mod m (( a ⌊ b /2 ⌋ mod m ) 2 ⋅ a ) mod m b = 0 b 偶 b 奇 快速模幂
BBP 公式是 20 世纪末最令人惊讶的数学发现之一：
突破性 ：首次实现在不计算前驱位的情况下提取 π π 实用性 ：内存占用 O ( 1 ) O ( 1 ) 理论价值 ：为 π π 可扩展性 ：通过 PSLQ 算法可以系统性地发现更多 BBP 型公式
虽然对于高精度（10 9 1 0 9 π π 位提取 、分布式验证 和数学研究 这三个方向上，BBP 公式仍然无可替代。
Bailey, D. H., Borwein, P. B., & Plouffe, S. (1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Mathematics of Computation , 66(218), 903-913.
Bailey, D. H. (2000). "A compendium of BBP-type formulas for mathematical constants." Preprint , NASA Ames Research Center.
Bailey, D. H., & Crandall, R. E. (2001). "On the random character of fundamental constant expansions." Experimental Mathematics , 10(2), 175-190.
Plouffe, S. (1998). "The computation of certain numbers using a ruler and compass." Journal of Integer Sequences , 1, Article 98.1.3.
Weisstein, E. W. "BBP Formula." MathWorld -- A Wolfram Web Resource.