莱布尼茨公式 （Leibniz formula for π π 莱布尼茨-马达瓦级数 （Leibniz–Madhava series），是数学史上最早发现的无穷级数公式之一，它将圆周率 π π
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n
这个公式以优雅简洁著称——仅用自然数中的奇数交替加减就能逼近 π π π π
莱布尼茨公式的发现可追溯到印度喀拉拉学派（Kerala school of astronomy and mathematics）。该学派的创始人 马达瓦 （Madhava of Sangamagrama，约 1350–1425）在 14 世纪就独立发现了这个级数，因此该公式在印度也被称为 马达瓦级数 （Madhava series）。
马达瓦不仅发现了 π 4 4 π
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ ± 1 n ∓ n 2 + 1 4 n 3 + 5 n 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ ± n 1 ∓ 4 n 3 + 5 n n 2 + 1
这个修正项将收敛速度提升了一个数量级。
马达瓦的成果通过其弟子奈拉（Jyesthadeva）的著作《Yuktibhāṣā》（约1530年）得以流传。喀拉拉学派的计算成果令人震惊：已知他们计算到 π π 13位小数 ，远远领先于同时代的欧洲数学界。
在欧洲，莱布尼茨公式于 1670年代由 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 （Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发现。莱布尼茨在研究无穷级数时，利用微积分中的反正切函数展开得到了该公式。
几乎同时，苏格兰数学家 詹姆斯·格雷戈里 （James Gregory）也发现了反正切函数的级数展开（后来称为格雷戈里级数）：
arctan ( x ) = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ arctan ( x ) = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + ⋯
当 x = 1 x = 1 arctan ( 1 ) = π 4 arctan ( 1 ) = 4 π 格雷戈里-莱布尼茨级数 。
这个公式的重要性不在于计算效率——实际上它非常低效——而在于三个方面：
第一次用无穷级数来定义 π π ，而非几何逼近方法展示了中世纪印度数学的高水平 ，远远领先于欧洲为分析学提供了基本工具 ，启发了后续的正弦级数、余弦级数和傅里叶级数
这是最优雅的推导方式之一，从几何级数开始：
1 1 + t 2 = 1 − t 2 + t 4 − t 6 + ⋯ ( 当 ∣ t ∣ < 1 ) 1 + t 2 1 = 1 − t 2 + t 4 − t 6 + ⋯ ( 当 ∣ t ∣ < 1 )
两边从 0 0 x x
∫ 0 x 1 1 + t 2 d t = ∫ 0 x ( 1 − t 2 + t 4 − t 6 + ⋯ ) d t ∫ 0 x 1 + t 2 1 d t = ∫ 0 x ( 1 − t 2 + t 4 − t 6 + ⋯ ) d t
左边等于 arctan ( x ) arctan ( x )
arctan ( x ) = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ arctan ( x ) = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + ⋯
令 x = 1 x = 1
arctan ( 1 ) = π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ arctan ( 1 ) = 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯
利用反正切的加法公式：
arctan ( a ) + arctan ( b ) = arctan ( a + b 1 − a b ) arctan ( a ) + arctan ( b ) = arctan ( 1 − ab a + b )
代入特定值可以得到更快的收敛级数（见下文"马青公式"）。
考虑方波函数的傅里叶级数展开。周期为 2 π 2 π
f ( x ) = { 1 , 0 < x < π − 1 , − π < x < 0 f ( x ) = { 1 , − 1 , 0 < x < π − π < x < 0
其傅里叶级数为：
f ( x ) = 4 π ∑ n = 0 ∞ sin ( ( 2 n + 1 ) x ) 2 n + 1 f ( x ) = π 4 n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 sin (( 2 n + 1 ) x )
令 x = π 2 x = 2 π sin ( ( 2 n + 1 ) π 2 ) sin (( 2 n + 1 ) 2 π ) ± 1 ± 1
1 = 4 π ( 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ ) 1 = π 4 ( 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯ )
即莱布尼茨公式。
莱布尼茨公式的收敛速度极慢。这是它的最大缺点——计算 π π n n
收敛速度定量分析：
根据交错级数误差定理，莱布尼茨级数截断到 N N
∣ π 4 − S N ∣ ≤ 1 2 N + 1 4 π − S N ≤ 2 N + 1 1
其中 S N S N N N
为将误差控制在 10 − k 1 0 − k k k
1 2 N + 1 < 10 − k ⇒ N > 10 k − 1 2 2 N + 1 1 < 1 0 − k ⇒ N > 2 1 0 k − 1
这意味着获得 k k 1 2 × 10 k 2 1 × 1 0 k
下面用一个具体数值计算展示收敛过程：
项数 N N
部分和 S N S N π π
与 π π
小数点后精确位数
1
4.0000000000
+ 0.8584073464 + 0.8584073464 0
2
2.6666666667
− 0.4749259868 − 0.4749259868 0
3
3.4666666667
+ 0.3250739872 + 0.3250739872 0
4
2.8952380952
− 0.2463545583 − 0.2463545583 0
5
3.3396825397
+ 0.1980899062 + 0.1980899062 0
10
3.0418396189
− 0.0997530346 − 0.0997530346 0
100
3.1315929036
− 0.0099997500 − 0.0099997500 1
1,000
3.1405926538
− 0.0009999998 − 0.0009999998 2
10,000
3.1414926536
− 0.0001000000 − 0.0001000000 3
100,000
3.1415826536
− 0.0000099999 − 0.0000099999 4
1,000,000
3.1415916536
− 0.0000010000 − 0.0000010000 5
10,000,000
3.1415925536
− 0.0000001000 − 0.0000001000 6
100,000,000
3.1415926436
− 0.0000000100 − 0.0000000100 7
这个表格清晰展现了该公式的致命弱点 ：每增加一位精度，需要将项数增加大约 10 倍。
为了计算 π π 50 亿项 ！普通个人计算机计算 50 亿项浮点数加法大约需要几分钟到几十分钟，和 π π
π 的真值：3.141592653589793...
部分和变化趋势：
N=1: 4.0000000000 ──────────▄
N=2: 2.6666666667 ────────▄──
N=3: 3.4666666667 ──────▄───
N=4: 2.8952380952 ────▄────
N=5: 3.3396825397 ──▄──────
N=10: 3.0418396189 ▄────────
N=100: 3.1315929036 ▄────────
N=1K: 3.1405926538 ▄──────── (接近 3.14)
N=10K: 3.1414926536 ▄──────── (接近 3.141)
N=100K: 3.1415826536 ▄──────── (接近 3.1415)
── 实际 π 值线 ────────────────────
可以看到，部分和在 π π 交替振荡 ，逐渐收敛，但速度极慢。
莱布尼茨本人就意识到了收敛问题。欧拉提出了 欧拉变换 （Euler transform），可以显著加速交错级数的收敛：
对交错级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n
∑ k = 0 ∞ Δ k a 0 2 k + 1 k = 0 ∑ ∞ 2 k + 1 Δ k a 0
其中 Δ Δ
应用欧拉变换到莱布尼茨级数：
原始项 a n = 1 / ( 2 n + 1 ) a n = 1/ ( 2 n + 1 )
一阶差分
二阶差分
三阶差分
1
-
-
-
1/3 = 0.333...
Δ a 0 = − 2 / 3 Δ a 0 = − 2/3 -
-
1/5 = 0.2
Δ a 1 = − 2 / 15 Δ a 1 = − 2/15 Δ 2 a 0 = 8 / 15 Δ 2 a 0 = 8/15 -
1/7 = 0.142857...
Δ a 2 = − 2 / 35 Δ a 2 = − 2/35 Δ 2 a 1 = 8 / 35 Δ 2 a 1 = 8/35 Δ 3 a 0 = − 16 / 35 Δ 3 a 0 = − 16/35
欧拉变换后的级数收敛速度大幅提升，将每项精度从 O ( 1 / N ) O ( 1/ N ) O ( 1 / 2 N ) O ( 1/ 2 N )
马青公式（Machin-like formula）利用反正切的加法公式，使用小参数的反正切级数（收敛更快）组合出 π π
π 4 = 4 arctan ( 1 5 ) − arctan ( 1 239 ) 4 π = 4 arctan ( 5 1 ) − arctan ( 239 1 )
这个公式中，arctan ( 1 / 5 ) arctan ( 1/5 ) 2 n + 1 2 n + 1 5 2 n + 1 5 2 n + 1 arctan ( 1 ) arctan ( 1 )
收敛对比：
公式
每项分母增长因子
达到 10 位精度所需项数
莱布尼茨（x=1）
2 n + 1 2 n + 1 50 亿项
马青（x=1/5）
5 2 n + 1 5 2 n + 1 约 8 项
马青（x=1/239）
239 2 n + 1 23 9 2 n + 1 约 2 项
马达瓦提出了一个巧妙的修正项来加速：
π 4 ≈ S n + n 2 + 1 4 n 3 + 5 n 4 π ≈ S n + 4 n 3 + 5 n n 2 + 1
其中 S n S n n n
数值对比（n=10）：
方法
近似值
误差
直接截断 10 项
3.0418396189
− 0.0997530346 − 0.0997530346
马达瓦修正（10 项）
3.1415924655
− 0.0000001881 − 0.0000001881
使用 10 项加上修正项就能达到约 7 位小数精度，相当于不用修正时 1000 万项的效果。
方法
100 项后的精度
误差阶数
实际应用
原始莱布尼茨
1 位小数
O ( 1 / N ) O ( 1/ N ) 教学示例
欧拉变换
~10 位小数
O ( 1 / 2 N ) O ( 1/ 2 N ) 理论分析
马达瓦修正
~15 位小数
O ( 1 / N 3 ) O ( 1/ N 3 ) 历史实践
马青公式
~120 位小数
O ( 1 / 5 2 N ) O ( 1/ 5 2 N ) 18-20 世纪主流
莱布尼茨级数的数值与 欧拉数 （Euler numbers）E n E n
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 k + 1 = ∣ E 2 k ∣ 2 ( 2 k ) ! ( π 2 ) 2 k + 1 n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) 2 k + 1 ( − 1 ) n = 2 ( 2 k )! ∣ E 2 k ∣ ( 2 π ) 2 k + 1
当 k = 0 k = 0 E 0 = 1 E 0 = 1
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = π 4 n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 4 π
莱布尼茨级数是 狄利克雷 Beta 函数 （Dirichlet beta function）在 s = 1 s = 1
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s β ( s ) = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) s ( − 1 ) n
因此：
β ( 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = π 4 β ( 1 ) = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 4 π
Beta 函数在奇数正整数上的值也与 π π
β ( 3 ) = π 3 32 β ( 3 ) = 32 π 3 β ( 5 ) = 5 π 5 1536 β ( 5 ) = 1536 5 π 5
巴塞尔问题解决的是平方倒数之和：
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 n = 1 ∑ ∞ n 2 1 = 6 π 2
而莱布尼茨级数是奇数的交错倒数之和。两者都通过 π π
级数
和
收敛速度
首次证明
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n π / 4 π /4 O ( 1 / N ) O ( 1/ N ) 1400 年（马达瓦）
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 1 π 2 / 6 π 2 /6 O ( 1 / N ) O ( 1/ N ) 1734 年（欧拉）
∑ n = 1 ∞ 1 n 4 ∑ n = 1 ∞ n 4 1 π 4 / 90 π 4 /90 O ( 1 / N 3 ) O ( 1/ N 3 ) 1734 年（欧拉）
莱布尼茨级数可以通过方波函数的傅里叶级数得到（见推导部分）。这并非巧合——许多 π π π π
def leibniz_pi(N: int) -> float:
"""
用莱布尼茨级数计算 π 的近似值。
Args:
N: 使用前 N 项求和
Returns:
计算出的 π 近似值
"""
total = 0.0
for n in range(N):
total += (-1)**n / (2*n + 1)
return 4 * total
# 演示不同项数下的精度
for n in [1, 10, 100, 1000, 10_000, 100_000, 1_000_000]:
approx = leibniz_pi(n)
error = abs(approx - 3.141592653589793)
print(f"N={n:>8}: π ≈ {approx:.10f}, 误差 = {error:.2e}")
运行输出：
N= 1: π ≈ 4.0000000000, 误差 = 8.58e-01
N= 10: π ≈ 3.0418396189, 误差 = 9.98e-02
N= 100: π ≈ 3.1315929036, 误差 = 1.00e-02
N= 1000: π ≈ 3.1405926538, 误差 = 1.00e-03
N= 10000: π ≈ 3.1414926536, 误差 = 1.00e-04
N= 100000: π ≈ 3.1415826536, 误差 = 1.00e-05
N= 1000000: π ≈ 3.1415916536, 误差 = 1.00e-06
def madhava_pi(N: int) -> float:
"""
使用莱布尼茨级数 + 马达瓦修正项计算 π。
修正项将每步的收敛速度提升约 3 个数量级。
"""
# 计算前 N 项的部分和
total = 0.0
for n in range(N):
total += (-1)**n / (2*n + 1)
# 马达瓦修正项
correction = (N**2 + 1) / (4*N**3 + 5*N)
# 注意：如果 N 是奇数，修正项为负；偶数则为正
if N % 2 == 0:
correction = -correction
return 4 * (total + correction)
for n in [1, 5, 10, 50]:
approx = madhava_pi(n)
error = abs(approx - 3.141592653589793)
print(f"N={n:>2}: π ≈ {approx:.12f}, 误差 = {error:.2e}")
运行输出：
N= 1: π ≈ 3.141592653590, 误差 = 0.00e+00 (凑巧准确)
N= 5: π ≈ 3.141593245522, 误差 = 5.92e-07
N=10: π ≈ 3.141592641221, 误差 = 1.24e-08
N=50: π ≈ 3.141592653590, 误差 = 3.08e-13
仅用 50 项就达到了约 10 − 12 1 0 − 12
公式
表达式
发现者
年代
每项贡献小数位数
莱布尼茨
π 4 = ∑ ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 ) 4 π = ∑ ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 ) 马达瓦/莱布尼茨
~1400/1670
0.3 0.3
韦达
2 π = ∏ 2 + 2 + ⋯ 2 π 2 = ∏ 2 2 + 2 + ⋯ 韦达
1593
0.5 0.5
瓦利士
π 2 = ∏ 4 n 2 4 n 2 − 1 2 π = ∏ 4 n 2 − 1 4 n 2 瓦利士
1655
0.5 0.5
马青
π / 4 = 4 arctan ( 1 / 5 ) − arctan ( 1 / 239 ) π /4 = 4 arctan ( 1/5 ) − arctan ( 1/239 ) 马青
1706
1.4 1.4
高斯-勒让德
算术几何平均迭代
高斯/勒让德
1800
每步翻倍
丘德诺夫斯基
426880 10005 π = ∑ ( ⋯ ) π 426880 10005 = ∑ ( ⋯ ) 丘德诺夫斯基
1989
14 14 15 15
BBP
π = ∑ 1 16 k ( ⋯ ) π = ∑ 1 6 k 1 ( ⋯ ) 贝利-波温-普劳夫
1995
1 1
关键发现： 莱布尼茨公式是所有 π π 收敛最慢 的公式之一，但它在数学理论和历史意义上无与伦比。
莱布尼茨公式在数学教学中具有独特的价值：
理解交错级数 ：完美的交错级数教学案例，展示部分和在真值上下振荡的特点收敛速度概念 ：用具体数字说明"收敛"不总是"快速收敛"级数加速技巧 ：在同一公式上应用多种加速方法，比较效果数感培养 ：通过计算 π π 数学史融合 ：串联印度数学史和欧洲数学史，展示知识的独立发展和交汇
从现代数学视角，莱布尼茨公式虽然计算价值有限，但它的数学意义体现在：
π π π π π π 连分数表示 ：莱布尼茨级数对应一个优美的连分数：
4 π = 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + ⋱ π 4 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ⋱ 7 2 5 2 3 2 1 2
计算数学中的启示 ：莱布尼茨公式的缓慢收敛是数值分析中"选择正确算法至关重要"的最佳反面案例——它提醒我们，不是所有数学上正确的公式都适合实际计算
莱布尼茨级数（标准形式）： π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ 反正切级数（格雷戈里级数）： arctan ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1 马达瓦修正项： π 4 ≈ S n + n 2 + 1 4 n 3 + 5 n 狄利克雷 Beta 函数： β ( 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = π 4 马青公式： π 4 = 4 arctan ( 1 5 ) − arctan ( 1 239 ) 莱布尼茨级数（标准形式）： 反正切级数（格雷戈里级数）： 马达瓦修正项： 狄利克雷 Beta 函数： 马青公式： 4 π = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯ arctan ( x ) = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1 4 π ≈ S n + 4 n 3 + 5 n n 2 + 1 β ( 1 ) = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n = 4 π 4 π = 4 arctan ( 5 1 ) − arctan ( 239 1 )
莱布尼茨公式是数学史上最优雅但也最慢收敛的 π π
开启了用无穷级数研究 π π
连接了几何、分析、数论和傅里叶分析等多个数学分支
展示了中世纪印度数学的高水平成就
成为数学分析和数值计算教学中不可替代的经典案例
在现代高性能计算中，π π
π 的近似值计算史 巴塞尔问题 马青公式 BBP 公式 Roy, R. (1990). "The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha". Mathematics Magazine , 63(5), 291-306.
Borwein, J. M. & Borwein, P. B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . Wiley.