1914年，印度天才数学家 斯里尼瓦瑟·拉马努金 （Srinivasa Ramanujan）发表了一篇名为《模方程与 π π 惊人快速 地计算圆周率 π π
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k π 1 = 9801 2 2 k = 0 ∑ ∞ ( k ! ) 4 39 6 4 k ( 4 k )! ( 1103 + 26390 k )
这个公式的每个新项可以增加约 8 位十进制精度 ——而此前最有效的公式（如马钦公式）每次迭代只能增加不到 1 位。这意味着只用几项就足以达到实用精度，几十项就能达到天文数字的精度。
里程碑意义 ：拉马努金公式开创了"超快速收敛" π π π π
拉马努金给出的通用形式属于一族 Ramanujan–Sato 级数 ，其基本结构为：
1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 ) k ( 1 s ) k ( 1 − 1 s ) k ( 1 ) k 3 ( A + B k ) x k π 1 = k = 0 ∑ ∞ ( 1 ) k 3 ( 2 1 ) k ( s 1 ) k ( 1 − s 1 ) k ( A + B k ) x k
其中 ( a ) k ( a ) k 波赫哈默尔符号 （Pochhammer symbol），( a ) k = a ( a + 1 ) ( a + 2 ) ⋯ ( a + k − 1 ) ( a ) k = a ( a + 1 ) ( a + 2 ) ⋯ ( a + k − 1 )
对于最著名的那个具体形式：
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k π 1 = 9801 2 2 k = 0 ∑ ∞ ( k ! ) 4 39 6 4 k ( 4 k )! ( 1103 + 26390 k )
公式中各个部分的意义：
参数
值
数学意义
A A 1103 1103 线性系数的常数项
B B 26390 26390 线性系数的 k k
C C 396 396 分母底数（模量倒数）
系数
2 2 9801 9801 2 2 归一化常数
k k —
级数求和指标
为了更直观地理解公式的收敛速度，我们计算前几项的贡献：
1 π = 2 2 9801 ⋅ S π 1 = 9801 2 2 ⋅ S
其中 S = ∑ k = 0 ∞ a k S = ∑ k = 0 ∞ a k a k = ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k a k = ( k ! ) 4 39 6 4 k ( 4 k )! ( 1103 + 26390 k )
前 5 项的详细数值：
k k ( 4 k ) ! ( 4 k )! ( k ! ) 4 ( k ! ) 4 396 4 k 39 6 4 k 1103 + 26390 k 1103 + 26390 k a k a k a k a k
0
1 1 1 1 1 1 1103 1103 1103 1103 10 3 1 0 3
1
24 24 1 1 396 4 ≈ 2.46 × 10 10 39 6 4 ≈ 2.46 × 1 0 10 27493 27493 ≈ 2.68 × 10 − 8 ≈ 2.68 × 1 0 − 8 10 − 8 1 0 − 8
2
40320 40320 16 16 396 8 ≈ 6.04 × 10 20 39 6 8 ≈ 6.04 × 1 0 20 53883 53883 ≈ 2.24 × 10 − 16 ≈ 2.24 × 1 0 − 16 10 − 16 1 0 − 16
3
4.79 × 10 7 4.79 × 1 0 7 1296 1296 396 12 ≈ 1.49 × 10 31 39 6 12 ≈ 1.49 × 1 0 31 80273 80273 ≈ 5.07 × 10 − 24 ≈ 5.07 × 1 0 − 24 10 − 24 1 0 − 24
4
2.09 × 10 11 2.09 × 1 0 11 331776 331776 396 16 ≈ 3.66 × 10 41 39 6 16 ≈ 3.66 × 1 0 41 106663 106663 ≈ 1.98 × 10 − 31 ≈ 1.98 × 1 0 − 31 10 − 31 1 0 − 31
可以看到，a k a k 10 − 8 1 0 − 8 每项贡献约 8 位十进制精度 的来源。
将前几项代入公式，计算得到的 π π
使用项数
计算得到的 π π
正确位数
误差
仅 k = 0 k = 0
3.141592 653 ⋯ 3.141592 653 ⋯ 6 位
3.1 × 10 − 7 3.1 × 1 0 − 7
k = 0 , 1 k = 0 , 1 3.1415926535897 93 ⋯ 3.1415926535897 93 ⋯ 14 位
3.0 × 10 − 15 3.0 × 1 0 − 15
k = 0 , 1 , 2 k = 0 , 1 , 2 3.1415926535897932384626 42 ⋯ 3.1415926535897932384626 42 ⋯ 22 位
2.2 × 10 − 23 2.2 × 1 0 − 23
k = 0 , 1 , 2 , 3 k = 0 , 1 , 2 , 3 3.141592653589793238462643383279 47 ⋯ 3.141592653589793238462643383279 47 ⋯ 30 位
5.0 × 10 − 31 5.0 × 1 0 − 31
直观对比 ：要使用莱布尼茨公式达到 30 位精度，需要计算约 10 15 1 0 15 30 年 。而拉马努金公式只需要 4 项 ！
拉马努金公式并非凭空想象，而是源于他深厚的模形式 （modular forms）和椭圆积分 （elliptic integrals）理论。
椭圆积分 是一类形如下式的积分：
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d θ 1 − k 2 sin 2 θ K ( k ) = ∫ 0 π /2 1 − k 2 sin 2 θ d θ
其中 k k 模量 （modulus）。互补模量 定义为 k ′ = 1 − k 2 k ′ = 1 − k 2
拉马努金发现了模方程——一个联系 k k 奇异模量 （singular moduli），K ( k ) K ( k ) π π
拉马努金公式的核心思想：选择特殊的 k k K ( k ′ ) / K ( k ) = n K ( k ′ ) / K ( k ) = n n n k k 代数数 （algebraic number），即某个多项式方程的解。
n n 对应的 k k
K ( k ) / π K ( k ) / π
1
k = 1 / 2 k = 1/ 2 Γ ( 1 / 4 ) 2 4 π 3 / 2 4 π 3/2 Γ ( 1/4 ) 2
2
k = 2 − 1 k = 2 − 1 —
3
k = 6 − 2 4 k = 4 6 − 2 —
58 复杂代数数 涉及 1103 1103 26390 26390
公式中的 9801 = 99 2 9801 = 9 9 2 396 = 4 × 99 396 = 4 × 99 1103 1103 26390 26390 n = 58 n = 58
拉马努金没有接受过正规的数学训练，他声称这些公式是纳马卡尔女神（Namagiri）在梦中赐予他的。现代数学家们（如 Bruce Berndt 等人的研究工作）花了数十年时间，才逐一为拉马努金的公式提供了严格的证明。
用数学家 G. H. Hardy 的话说："拉马努金的公式必须是真的，因为如果不是，没有人有想象力去发明它们。"
在拉马努金之前，π π
时期
代表人物
方法
最高精度（小数位）
古代（~250 BC）
阿基米德
多边形逼近
3
17 世纪
格雷果里、莱布尼茨
反正切级数（慢）
几十
18 世纪
马钦、欧拉
反正切组合公式
100
19 世纪
拉瑟福德、香克斯
改进的马钦类公式
707
到 1914 年，人们已经知道 π π 理论上只需几项就能超过这个精度 ——这在当时几乎不可想象。
拉马努金去世 35 年后，他的公式才在实际计算中展现实力：
年份
计算者
使用公式
计算的 π π
1949
ENIAC（电子计算机）
马钦公式
2037
1961
Shanks & Wrench
马钦公式
100,265
1973
Guilloud & Bouyer
马钦公式
1,001,250
1985 Gosper 拉马努金公式 17,526,200
1989
Chudnovsky 兄弟
Chudnovsky 算法
1,011,196,691
2022
谷歌云团队
Chudnovsky 算法
100,000,000,000,000
1985 年，Bill Gosper 使用 Symbolics 工作站实现了拉马努金公式，首次突破千万位大关。他在回忆中写道："拉马努金的公式如此优雅，每当我看着它，都觉得它在召唤我计算更多位数。"
除最著名的那一个外，拉马努金还给出了十几个类似的 π π
公式 2（收敛稍慢）：
1 π = 1 3528 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( k ! ) 4 ⋅ 1 99 2 k ( 1 + k 4 ) π 1 = 3528 1 k = 0 ∑ ∞ ( k ! ) 4 ( 4 k )! ⋅ 9 9 2 k 1 ( 1 + 4 k )
公式 3（更高收敛率）：
1 π = 1 882 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( k ! ) 4 ⋅ 1 99 4 k ( 1103 + 26390 k ) π 1 = 882 1 k = 0 ∑ ∞ ( k ! ) 4 ( 4 k )! ⋅ 9 9 4 k 1 ( 1103 + 26390 k )
这些公式的共同特征是：都需要特殊的二次无理数 （如 2 2 整系数 。
拉马努金公式的快速收敛源于公式中 396 4 k 39 6 4 k
a k + 1 a k = ( 4 k + 4 ) ! ( 4 k ) ! ⋅ ( k ! ) 4 ( ( k + 1 ) ! ) 4 ⋅ 396 4 k 396 4 k + 4 ⋅ 1103 + 26390 ( k + 1 ) 1103 + 26390 k a k a k + 1 = ( 4 k )! ( 4 k + 4 )! ⋅ (( k + 1 )! ) 4 ( k ! ) 4 ⋅ 39 6 4 k + 4 39 6 4 k ⋅ 1103 + 26390 k 1103 + 26390 ( k + 1 )
使用斯特林公式近似因子 ( n ! ≈ 2 π n ( n / e ) n ) ( n ! ≈ 2 π n ( n / e ) n )
a k + 1 a k ∼ 1 396 4 ⋅ ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 4 ) ( k + 1 ) 4 a k a k + 1 ∼ 39 6 4 1 ⋅ ( k + 1 ) 4 ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 4 )
对于大 k k a k + 1 a k → 4 4 396 4 = 256 396 4 ≈ 256 2.46 × 10 10 ≈ 1.04 × 10 − 8 a k a k + 1 → 39 6 4 4 4 = 39 6 4 256 ≈ 2.46 × 1 0 10 256 ≈ 1.04 × 1 0 − 8
这意味着：每增加一项，精度大约增加 log 10 ( 1 / a k ) ≈ 8 log 10 ( 1/ a k ) ≈ 8
算法
每步精度增量
达到百万位的步数
时间复杂度
莱布尼茨公式
0.5 0.5 2 × 10 6 2 × 1 0 6 O ( n 2 ) O ( n 2 )
马钦公式
1 1 1 × 10 6 1 × 1 0 6 O ( n 2 ) O ( n 2 )
拉马努金公式 ~8 位 ~125,000 O ( n log 3 n ) O ( n log 3 n )
Chudnovsky 算法 ~14 位 ~71,400 O ( n log 3 n ) O ( n log 3 n )
高斯-勒让德算法
每步翻倍
log 2 n log 2 n O ( log n ⋅ M ( n ) ) O ( log n ⋅ M ( n ))
注意：高斯-勒让德算法虽然以极其少的步数收敛（约 20~30 步即可达到百万位），但每一步都需要高精度算术运算，复杂度是 O ( log n ⋅ M ( n ) ) O ( log n ⋅ M ( n )) 线性收敛 ，每一步固定增加约 8 位。
在实际计算中，要保证 N N K K
a K < 10 − ( N + 1 ) a K < 1 0 − ( N + 1 )
取对数近似：
log 10 ( a K ) ≈ − K 8 log 10 ( a K ) ≈ − 8 K
因此：
K > 8 ( N + 1 ) K > 8 ( N + 1 )
目标精度
所需项数
计算时间（现代单核 CPU）
10 3 1 0 3 ≈ 8 ≈ 8 < 1 < 1
10 6 1 0 6 ≈ 8000 ≈ 8000 ≈ 1 ≈ 1
10 9 1 0 9 ≈ 8 × 10 6 ≈ 8 × 1 0 6 ≈ 30 ≈ 30
10 12 1 0 12 ≈ 8 × 10 9 ≈ 8 × 1 0 9 ≈ 30 ≈ 30
1989 年，David Chudnovsky 和 Gregory Chudnovsky 兄弟在拉马努金公式的基础上，利用 n = 163 n = 163 Heegner 数 之一）的奇异模量，推导出了一个收敛更快 的变体：
1 π = 12 640320 3 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 262537412640768000 ) k π 1 = 64032 0 3 12 k = 0 ∑ ∞ ( 3 k )! ( k ! ) 3 ( − 262537412640768000 ) k ( 6 k )! ( 13591409 + 545140134 k )
此公式的核心特性 ：
属性
值
对比拉马努金公式
每步精度增量
~14.18 位 8 位
归一化常数
12 640320 3 64032 0 3 12 2 2 9801 9801 2 2
分母底数
− 262537412640768000 − 262537412640768000 396 396
来源的 n n
163 163 58 58
之所以用 n = 163 n = 163 j j
j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 = − 262537412640768000 j ( 2 1 + − 163 ) = − 64032 0 3 = − 262537412640768000
特性
拉马努金公式（1914）
Chudnovsky 算法（1989）
每项位数
~8 位
~14 位
百万位所需项数
~125,000
~71,400
万亿位所需项数
~1.25 亿
~7,140 万
代码复杂度
低（整数运算为主）
中（大量整数运算）
当前使用
教学、参考
所有纪录保持者
以下是 Chudnovsky 算法的 Python 实现（使用 Python 的大整数运算）：
from decimal import Decimal, getcontext
from math import factorial
def chudnovsky_pi(precision_digits):
"""使用 Chudnovsky 算法计算 π"""
getcontext().prec = precision_digits + 10 # 额外精度用于舍入
C = 426880 * Decimal(10005).sqrt()
K = Decimal(6)
M = Decimal(1)
X = Decimal(1)
L = Decimal(13591409)
S = Decimal(13591409)
for k in range(1, precision_digits // 14 + 2):
M = Decimal((K ** 3 - 16 * K) * M / k ** 3)
L += Decimal(545140134)
X *= Decimal(-262537412640768000)
S += Decimal(M * L / X)
K += Decimal(12)
return C / S
这个实现轻松达到百万位精度 （在普通笔记本上约需数秒）。
使用拉马努金公式仅取 k = 0 k = 0
a 0 = 1103 a 0 = 1103
1 π ≈ 2 2 9801 × 1103 π 1 ≈ 9801 2 2 × 1103
π ≈ 9801 2 2 × 1103 π ≈ 2 2 × 1103 9801
π ≈ 9801 2206 × 1.41421356 … π ≈ 2206 × 1.41421356 … 9801
π ≈ 9801 3120.0 … ≈ 3.1415926 … π ≈ 3120.0 … 9801 ≈ 3.1415926 …
验证 ：通过简单的四则运算，仅用公式的第一项，就得到了 π ≈ 3.1415926 π ≈ 3.1415926
取 k = 0 k = 0 k = 1 k = 1
S = a 0 + a 1 = 1103 + 24 × 27493 1 × 396 4 ≈ 1103 + 659832 2.459 × 10 10 ≈ 1103 + 0.000026839 … ≈ 1103.000026839 … S = a 0 + a 1 = 1103 + 1 × 39 6 4 24 × 27493 ≈ 1103 + 2.459 × 1 0 10 659832 ≈ 1103 + 0.000026839 … ≈ 1103.000026839 …
1 π ≈ 2 2 9801 × 1103.000026839 ≈ 0.3183098861838 … π 1 ≈ 9801 2 2 × 1103.000026839 ≈ 0.3183098861838 …
π ≈ 3.141592653589793 … π ≈ 3.141592653589793 …
这和第 14 位小数完全一致。
应用领域
具体用途
所需精度
天文导航 深空探测器的轨道计算
15-20 位
GPS 定位 信号处理、球面几何
15 位
物理学常数 精细结构常数、量子电动力学
10-15 位
密码学 椭圆曲线密码、数论算法
数十至数百位
数学研究 检验 π π
百万亿位
计算机测试 浮点精度、并行计算能力
任意
值得注意的是，绝大多数实际应用只需要 π π 。计算 π π
验证超算性能 ：Chudnovsky 算法是完美的并行计算 Benchmark探索数字性质 ：π π 正态数猜想 ）数学好奇 ：人类对精确知识的永恒追求
一个值得介绍的开放性问题是：π π π π
数字
出现次数（前 10 13 1 0 13
比例
0
≈ 1.0001 × 10 12 ≈ 1.0001 × 1 0 12 10.001%
1
≈ 0.9999 × 10 12 ≈ 0.9999 × 1 0 12 9.999%
2
≈ 0.9999 × 10 12 ≈ 0.9999 × 1 0 12 9.999%
3
≈ 1.0000 × 10 12 ≈ 1.0000 × 1 0 12 10.000%
4
≈ 1.0001 × 10 12 ≈ 1.0001 × 1 0 12 10.001%
5
≈ 0.9999 × 10 12 ≈ 0.9999 × 1 0 12 9.999%
6
≈ 1.0000 × 10 12 ≈ 1.0000 × 1 0 12 10.000%
7
≈ 1.0000 × 10 12 ≈ 1.0000 × 1 0 12 10.000%
8
≈ 0.9999 × 10 12 ≈ 0.9999 × 1 0 12 9.999%
9
≈ 1.0000 × 10 12 ≈ 1.0000 × 1 0 12 10.000%
数据偏好 π π 正态数 （normal number），但这个问题至今未被严格证明。
拉马努金选择 n = 58 n = 58 模方程阶数较低 ，同时产生的系数（1103 1103 26390 26390 9801 9801 主同余子群 Γ 0 ( 58 ) Γ 0 ( 58 ) 属 （genus）为 0 的值之一。
模方程 y = 1 − 1 − x 2 1 + 1 − x 2 y = 1 + 1 − x 2 1 − 1 − x 2 n = 58 n = 58
椭圆积分 K ( k ) → 奇异模量 代数关系 → 模方程 变换公式 → 级数展开 Ramanujan 级数 → 数值计算 π 椭圆积分 K ( k ) 奇异模量 代数关系 模方程 变换公式 级数展开 Ramanujan 级数 数值计算 π
拉马努金的公式后来被推广为完整的 Ramanujan–Sato 级数族 。这些级数与单值化理论 （monstrous moonshine）和模函数 紧密相关。
级数类型
例子
收敛率（位/项）
1 级 Ramanujan–Sato
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k π 1 = 9801 2 2 ∑ k = 0 ∞ ( k ! ) 4 39 6 4 k ( 4 k )! ( 1103 + 26390 k ) 8
2 级 Ramanujan–Sato
Chudnovsky 算法
14
3 级 Ramanujan–Sato
Guillera 公式
约 6–10
4 级 Ramanujan–Sato
( 2 F 1 ) ( 2 F 1 ) 约 4–8
以下总结历史上最重要的 π π
公式
发现者
年份
收敛率
历史地位
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + ⋯ Madhava / Leibniz
~1400 / 1674
极慢（0.5 位/项）
数学史上的里程碑
π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 4 π = 4 arctan 5 1 − arctan 239 1 Machin
1706
慢（1 位/项）
200 年间最常用
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k π 1 = 9801 2 2 ∑ k = 0 ∞ ( k ! ) 4 39 6 4 k ( 4 k )! ( 1103 + 26390 k ) Ramanujan
1914
快速（8 位/项） 超快收敛的开端
1 π = 12 640320 3 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 262537412640768000 ) k π 1 = 64032 0 3 12 ∑ k = 0 ∞ ( 3 k )! ( k ! ) 3 ( − 262537412640768000 ) k ( 6 k )! ( 13591409 + 545140134 k ) Chudnovsky
1989
极快（14 位/项） 当今纪录保持者
拉马努金公式是 π π
思想革命 ：证明了 π π 代数数 、模形式 之间存在深刻的内在联系实用突破 ：使电脑计算 π π 美学典范 ：将 π π 1103 1103 26390 26390 9801 9801 396 396
最后一个有趣的事实：拉马努金公式仅用 k = 0 k = 0 π π 。如果拉马努金当年有计算器，他完全可以亲手计算 π π 没有任何计算工具 的情况下，仅凭数学直觉给出了这个公式。
延伸阅读 ：