量子信息是量子力学与信息科学交叉产生的前沿领域，旨在利用微观粒子的量子特性（叠加、纠缠、干涉）来实现经典信息处理无法企及的能力。量子信息科学涵盖量子计算、量子通信、量子密码学和量子传感等方向，被广泛认为是下一代信息技术的核心基础设施。
与传统计算中的比特（bit）只能是 0 或 1 不同，量子比特（qubit） 可以同时处于 和 的叠加态，这使得量子计算机在处理某些特定问题时具有指数级的加速能力。
量子信息学使用 Dirac 符号（bra-ket notation）表示量子态：
Ket： 和 表示量子比特的两个基态
Bra： 是 的共轭转置
叠加态：任意单量子比特态可以写成
其中 ，且满足归一化条件 。
假设有一个量子比特处于态：
这里 ，。
测量概率：
另一个例子，假设态为 ：
单量子比特的任意纯态可以用 Bloch 球上的一个点表示：
|0⟩ (North Pole)
▲
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/ | θ \
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◉───────────────────────●───────────────────────► Equator (|+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
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▼
|1⟩ (South Pole)
任意纯态：，其中 ，。
多量子比特系统的态空间是单个量子比特态空间的张量积：
例如，两量子比特的基态：
纠缠态是不能写成单个量子比特态的直积的多量子比特态。最著名的纠缠态是 Bell 态：
这个态之所以是纠缠的，是因为无法找到 使得：
量子纠缠的核心特性：测量其中一个量子比特会立即确定另一个量子比特的状态，无论它们相距多远。这就是 Einstein 所说的"幽灵般的超距作用"。
四个 Bell 态：
| 名称 | 量子态 | 备注 |
|---|---|---|
| 量子隐形传态中使用 | ||
| 相位相反的纠缠态 | ||
| 自旋相反的纠缠态 | ||
| 单态（总自旋为0） |
GHZ 态是三个量子比特的最大纠缠态。测量任何一个量子比特得到 0 或 1，另外两个必然相同（全 0 或全 1）。
量子门是作用在量子比特上的幺正变换，可以用矩阵表示。与经典逻辑门不同，所有量子门都是可逆的。
| 门 | 矩阵 | 作用 | 示例 |
|---|---|---|---|
| Pauli-X（经典 NOT） | 类似经典 NOT | ||
| Pauli-Y | 绕 y 轴旋转 | ||
| Pauli-Z | 相位反转 | ||
| Hadamard (H) | 创建叠加态 |
输入：
输入：
（叠加态在 X 门作用下保持不变——这是经典 NOT 做不到的！）
**CNOT 门（受控非门）**是量子计算中最基础的两量子比特门：
作用：如果控制比特为 ，则翻转目标比特。
| 输入 | 输出 |
|---|---|
Step 1: 从 |0⟩|0⟩ 开始
Step 2: 在第一个量子比特上应用 H 门
Step 3: 以第一个量子比特为控制，应用 CNOT
全过程：
|00⟩ → H⊗I → (|0⟩+|1⟩)|0⟩/√2 = (|00⟩+|10⟩)/√2
→ CNOT → (|00⟩+|11⟩)/√2
这就生成了 Bell 态 ！
量子电路是量子计算的标准模型，类似经典数字电路但具有量子特性。
Bell 态制备电路：
|0⟩ ──── H ──── • ──── M
│
|0⟩ ──────────── ⊕ ──── M
H = Hadamard 门
• = 控制比特
⊕ = 目标比特（CNOT）
M = 测量
Deutsch 算法（判断函数 f:{0,1}→{0,1} 是否为常数函数）：
|0⟩ ──── H ──── • ──── H ──── M
│
|1⟩ ──── H ──── U_f ───────────
其中 U_f 是量子 Oracle，实现 |x⟩|y⟩ → |x⟩|y⊕f(x)⟩
问题：给定一个函数 ，保证要么是常数函数（所有输入输出相同），要么是平衡函数（一半输出 0，一半输出 1）。判断它是常数还是平衡的。
这是展示量子优势的第一个算法，尽管解决的问题本身不是实际应用。
问题：在一个 个未排序的数据库中搜索一个特定的目标项。
| 算法 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 经典穷举查找 | 逐个检查 | |
| 经典数据结构（如哈希表） | 需要额外空间和维护 | |
| Grover 算法（量子） | 平方根加速 |
数值示例：
初始化：H|0⟩ 创建均匀叠加态
→ Oracle：标记目标态（反转目标态的振幅）
→ 扩散算子：围绕平均值反转所有振幅
→ 重复 O(√N) 次
→ 测量
振幅放大示例（以 为例）：
| 迭代 | 目标态振幅 | 非目标态振幅 | 测量到目标的概率 |
|---|---|---|---|
| 初始 | |||
| 1 次 | |||
| 2 次 |
对于 ，仅需 1 次迭代即可找到目标！
问题：给定一个 比特的大整数 （即 ），找到它的质因数。
| 算法 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 经典（通用数域筛法） | 亚指数但非多项式 | |
| Shor 算法（量子） | 多项式时间！ |
实际意义：
1. 随机选择 a ∈ [1, N-1]
2. 计算 gcd(a, N)，如果不是 1，则找到因子
3. 用量子算法找到 a^r ≡ 1 (mod N) 的阶 r
4. 如果 r 为奇数，换一个 a 重试
5. 计算 gcd(a^{r/2} - 1, N) 和 gcd(a^{r/2} + 1, N)
数值示例：分解
1. 选择 a=7
2. gcd(7, 15)=1 → 继续
3. 计算阶 r：7^1=7, 7^2=49≡4, 7^3=28≡13, 7^4=91≡1 (mod 15)
所以 r=4
4. r=4 是偶数 → 继续
5. gcd(7^{4/2}-1, 15) = gcd(49-1, 15) = gcd(48, 15) = 3
gcd(7^{4/2}+1, 15) = gcd(49+1, 15) = gcd(50, 15) = 5
6. 得到因子 3 和 5 ✓
量子比特极易受到环境噪声的影响，退相干时间是量子计算的最大工程挑战之一。
经典纠错（重复码）：用 3 个比特编码 1 个比特
0 → 000
1 → 111
如果测量得到 010 → 多数投票 → 0
量子纠错无法直接复制（不可克隆定理禁止复制未知量子态），但可以通过巧妙利用冗余编码实现。
Surface code 是当前最有前景的量子纠错方案，Google 的 Willow 芯片就是基于此方案。
| 属性 | 数值 |
|---|---|
| 逻辑量子比特 vs 物理量子比特 | 1:O(d²)（d 是码距离） |
| 码距离 d=3 | 13 个物理量子比特 |
| 码距离 d=5 | 41 个物理量子比特 |
| 码距离 d=7 | 85 个物理量子比特 |
| 纠错能力 | 可以纠正 (d-1)/2 个错误 |
不同量子纠错方案的容错阈值对比：
| 方案 | 物理错误率阈值 | 说明 |
|---|---|---|
| Surface Code | ~1% | 当前最主流，低阈值要求 |
| Steane Code | ~0.01% | 阈值更低但消耗更少量子比特 |
| 色码（Color Code） | ~0.1% | 支持 Transversal 门 |
实际意义：只要物理量子比特的错误率低于阈值，增加码距离就可以指数级降低逻辑错误率。
BB84 协议是 1984 年由 Charles Bennett 和 Gilles Brassard 提出的第一个量子密码学协议。
协议流程（具体数值示例）：
Alice 准备 8 个量子比特：
随机比特: 0 1 1 0 1 0 0 1
随机基选择: + × + × + × × +
编码态: |0⟩ |−⟩ |1⟩ |+⟩ |0⟩ |+⟩ |−⟩ |1⟩
发送 8 个量子比特 → Bob 测量：
Bob 随机基: × + × × + × + +
Bob 测量结果: 0 1 1 1 0 0 0 1
公开比较基（不公开测量结果）：
基匹配: ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✓ ✗ ✓
保留位: - - 1 1 - 0 - 1
最终密钥（后 4 位）：1 1 0 1
窃听检测：如果 Eve 窃听，她的测量会引入错误。
随机选取一半保留位比较：
公开位: 1 1 0
Alice 原始比特: 1 1 0
Bob 测量结果: 1 0 0 → 第2位不一致！→ 有窃听！
BB84 的安全性保障：
量子隐形传态允许不需要传输物理载体就将一个未知量子态从一个位置传送到另一个位置，利用的是纠缠和经典通信。
隐形传态流程：
Alice 拥有：量子比特 A（未知态 |ψ⟩）和纠缠对的一半 B
Bob 拥有：纠缠对的另一半 C
1. Alice 对 A 和 B 执行 Bell 态测量
2. Alice 通过经典信道将测量结果（2 比特）发送给 Bob
3. Bob 根据收到的结果对 C 应用相应的纠错门
结果：Bob 的量子比特 C 变成 |ψ⟩（Alice 的 A 被破坏）
核心公式：
关键点：
| 方案 | 代表团队 | 相干时间 | 门保真度 | 可扩展性 | 挑战 |
|---|---|---|---|---|---|
| 超导量子比特 | Google, IBM, 中科大 | ~100μs | 99.9%+ | 高 | 需极低温(~15mK) |
| 离子阱 | IonQ, Honeywell | ~1s | 99.99%+ | 中 | 门速度慢(~100μs) |
| 光量子 | 中科大, Xanadu | N/A | ~99% | 高 | 难以实现非线性门 |
| 拓扑量子比特 | Microsoft | 理论上无限 | 理论极高 | 高 | 尚未成功实现 |
| 金刚石 NV 中心 | 多国团队 | ~1ms | ~99% | 低 | 制备困难 |
| 年份 | 团队 | 成就 |
|---|---|---|
| 2019 | Google Sycamore | 53 量子比特，声称实现"量子优越性" |
| 2020 | 中科大 "九章" | 光量子 76 光子，高斯玻色取样 |
| 2023 | IBM Osprey | 433 量子比特处理器 |
| 2023 | 中科大 "九章三号" | 255 光子，比超算快 10^16 倍 |
| 2024 | Google Willow | 105 量子比特，表面码纠错突破，低于阈值 |
| 2024 | IBM | 1121 量子比特 Condor 处理器 |
定理：不存在一个量子操作可以精确复制任意未知量子态。
数学描述：不存在幺正变换 使得对任意态 都有：
证明概要：
假设存在这样的 ，对 和 ：
对叠加态 ：
矛盾！所以这样的 不存在。∎
虽然量子纠缠看起来传递信息"瞬间"，但实际上不可能利用它超光速传递信息，因为 Bob 必须等待 Alice 的经典通信（受光速限制）才能完成隐形传态。
| 框架 | 语言 | 开发者 | 特点 |
|---|---|---|---|
| Qiskit | Python | IBM | 最成熟的量子 SDK |
| Cirq | Python | 专注于 NISQ 设备 | |
| Q# | .NET | Microsoft | 与 Visual Studio 集成 |
| PennyLane | Python | Xanadu | 量子机器学习 |
| QuEST | C/Python | Oxford | 高性能量子模拟 |
Qiskit 示例（创建 Bell 态）：
from qiskit import QuantumCircuit
# 创建 2 量子比特电路
qc = QuantumCircuit(2, 2)
# 应用 H 门
qc.h(0)
# 应用 CNOT 门
qc.cx(0, 1)
# 测量
qc.measure([0, 1], [0, 1])
print(qc.draw())
# 输出:
# ┌───┐ ┌─┐
# q_0: ┤ H ├──■──┤M├───
# └───┘┌─┴─┐└╥┘┌─┐
# q_1: ─────┤ X ├─╫─┤M├
# └───┘ ║ └╥┘
# c: 2/═══════════╩══╩═
# 0 1
| 时间 | 里程碑 | 所需量子比特数 |
|---|---|---|
| 现在-2 年 | 容错量子门演示 | ~100 逻辑量子比特 |
| 3-5 年 | 量子化学模拟突破 | ~1000 逻辑量子比特 |
| 5-10 年 | 解决实用问题 | ~10000 逻辑量子比特 |
| 10 年+ | 通用量子计算机 | 百万级逻辑量子比特 |