静电学（Electrostatics）是电磁学中研究静止电荷（即不随时间变化的电荷分布）所产生的电场及其相互作用的分支学科。它是整个电磁学理论的基石，从库仑定律出发，逐步建立起电场、电势、高斯定律等核心概念，并在电容器、静电屏蔽、介质极化等领域有广泛的实际应用。
电荷是物质的一种基本属性，自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电荷的基本特性：
- 电荷量子化：任何带电体的电量都是元电荷 e=1.602×10−19C 的整数倍
- 电荷守恒：在孤立系统中，电荷的总量保持不变
- 电荷的相对论不变性：电荷量与参考系无关
库仑定律描述了两个静止点电荷之间的相互作用力。1785 年，法国物理学家查尔斯·库仑通过扭秤实验发现了这一基本定律。
库仑定律的数学表达式：
两个点电荷 q1 和 q2（相距 r）之间的静电力大小为：
F=kr2∣q1q2∣=4πε01r2∣q1q2∣
其中：
- k=8.988×109N⋅m2/C2（库仑常数）
- ε0=8.854×10−12C2/(N⋅m2)（真空介电常数），满足 k=1/(4πε0)
- 力的方向沿两电荷的连线
矢量形式：
F12=4πε01r122q1q2r^12
其中 F12 是 q1 对 q2 的作用力，r^12 是从 q1 指向 q2 的单位矢量。
例 1： 两个质子（带电量均为 +e=1.602×10−19C）相距 1.0×10−10m（约为分子尺度），求它们之间的库仑斥力。
解：
F=4πε01r2e2=(1.0×10−10)2(8.988×109)×(1.602×10−19)2
=1.0×10−208.988×109×2.566×10−38=2.307×10−8N
对比：两个质子在此距离上的万有引力为：
Fg=Gr2mp2=(1.0×10−10)2(6.674×10−11)×(1.673×10−27)2=1.868×10−44N
| 作用类型 |
公式 |
计算结果 |
比例 |
| 库仑斥力 |
ke2/r2 |
2.307×10−8N |
1 |
| 万有引力 |
Gmp2/r2 |
1.868×10−44N |
≈10−36 |
库仑力比万有引力强约 1036 倍，这就是为什么电磁相互作用在原子尺度占据主导地位。
例 2： 三个点电荷位于等边三角形的三个顶点上。q1=+2μC 在 (0,0)，q2=−2μC 在 (0.3m,0)，q3=+4μC 在 (0.15m,0.26m)。求 q3 所受的合力。
解： 分别计算 q1 和 q2 对 q3 的作用力，然后矢量合成。
q1 到 q3 的距离 r13=0.3m，q2 到 q3 的距离 r23=0.3m（等边三角形）。
F13=kr132∣q1q3∣=8.99×109×0.32(2×10−6)(4×10−6)=0.799N
q1 为正、q3 为正，故 F13 为斥力，方向从 q1 指向外（沿 q1q3 连线向外）。
F23=kr232∣q2q3∣=8.99×109×0.32(2×10−6)(4×10−6)=0.799N
q2 为负、q3 为正，故 F23 为引力，方向指向 q2（沿 q3q2 连线方向）。
由于对称性，两力大小相等，夹角 120∘，合力的水平分量为 0，竖直分量即为合力：
Fnet=2×0.799×cos30∘=1.384N
方向竖直向下。
当系统中有多个点电荷时，任一电荷所受的静电力等于其他所有电荷单独作用时的矢量和：
Fi=j=i∑Fji=4πε0qij=i∑rij2qjr^ij
叠加原理是静电学的核心假设之一，它意味着电场满足线性叠加性。
电场是在电荷周围存在的特殊物质，它的基本性质是对放入其中的电荷施加作用力。电场强度 E 定义为：
E=q0F
其中 q0 是试探电荷（足够小，不至于干扰原电场分布），F 是试探电荷所受的力。电场强度的单位是 N/C（牛顿/库仑），也常用 V/m（伏特/米）。
点电荷 q 在距离 r 处产生的电场强度为：
E=4πε01r2qr^
方向：正电荷的电场方向向外辐射，负电荷的电场方向向内汇聚。
例 3： 在 x 轴上，x=−0.2m 处有 q1=+5μC，x=+0.2m 处有 q2=−5μC（这是一个电偶极子）。求 x=0.5m 处的电场强度。
解：
E1=kr12∣q1∣=8.99×109×(0.7)25×10−6=9.17×104N/C
q1 为正，E1 方向沿 x 轴正向。
E2=kr22∣q2∣=8.99×109×(0.3)25×10−6=4.99×105N/C
q2 为负，E2 方向沿 x 轴正向（指向 q2）。
Enet=E1+E2=9.17×104+4.99×105=5.91×105N/C
方向沿 x 轴正向。
对于连续分布的电荷，将电荷分割为无穷小元 dq，然后对整个分布积分：
E=4πε01∫r2dqr^
常见的三种电荷分布类型：
| 分布类型 |
电荷密度 |
符号 |
单位 |
| 线分布 |
线电荷密度 |
λ |
C/m |
| 面分布 |
面电荷密度 |
σ |
C/m2 |
| 体分布 |
体电荷密度 |
ρ |
C/m3 |
例 4： 均匀带电细棒，长度 L=1.0m，总电荷 Q=2μC，求中垂面上距离棒中心 a=0.5m 处的电场强度。
解： 电荷线密度 λ=Q/L=2×10−6C/m。在细棒上取 dy 小段，电荷 dq=λdy，该小段到 P 点的距离为 r=a2+y2。
对称性分析：水平分量互相抵消，只有垂直于棒的竖直分量（即沿 a 方向）保留：
E=4πε01∫−L/2L/2a2+y2λdy⋅a2+y2a=4πε0aλ⋅a2+(L/2)2L/2⋅2
代入数值：a2+(L/2)2L/2=0.52+0.520.5=21=0.707
E=4π×8.854×10−12×0.52×10−6×0.707×2=1.59×104N/C
极限情况：当 L→∞ 时，均匀无限长带电棒的电场为：
E=2πε0aλ
代入数值：E=2π×8.854×10−12×0.52×10−6=7.19×104N/C
可见有限长棒的中垂面电场与无限长棒的差异显著，实际应用中需根据 L/a 比值判断近似是否合理。一般情况下，L/a>10 时可用无限长近似。
| L/a |
精确值 |
无限长近似 |
误差 |
| 1 |
1.59×104 |
7.19×104 |
352% |
| 2 |
2.54×104 |
7.19×104 |
183% |
| 5 |
4.59×104 |
7.19×104 |
57% |
| 10 |
6.00×104 |
7.19×104 |
20% |
| 50 |
7.00×104 |
7.19×104 |
2.7% |
电场线（电力线）是描述电场分布的几何工具：
- 电场线上每一点的切线方向与该点 E 的方向一致
- 电场线的密度正比于电场强度的大小
- 电场线从正电荷出发，终止于负电荷
电通量 ΦE 定义为穿过某一曲面的电场线总数：
ΦE=∫SE⋅dA
对于均匀电场中面积为 A 的平面：
ΦE=EAcosθ
其中 θ 是电场方向与曲面法线之间的夹角。
高斯定律是静电学的基本定律之一，它建立了闭合曲面上的电通量与曲面内包围的净电荷之间的定量关系：
∮SE⋅dA=ε0Qenc
其中 Qenc 是闭合曲面 S（称为高斯面）内包含的总电荷。
高斯定律的物理含义：通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以 ε0，与曲面外电荷分布无关。
高斯定律可以从库仑定律推导出来，两者本质上等价。但高斯定律提供了更强大的工具——当电荷分布具有高度对称性时，利用高斯定律可以大大简化电场计算。
均匀带电球壳（半径 R，总电荷 Q）：
均匀带电球体（半径 R，体电荷密度 ρ）：
-
球外（r>R）：E=4πε01r2Q
-
球内（r<R）：E=4πε01R3Qr=3ε0ρr
内部电场随 r 线性增长
数值示例： 一个半径 R=0.1m 的均匀带电球体，总电荷 Q=1μC。
| 位置 |
r |
电场强度 E |
方向 |
| 球心 |
0 |
0 |
- |
| 球内 |
0.05m |
4.50×105N/C |
径向向外 |
| 球面 |
0.10m |
8.99×105N/C |
径向向外 |
| 球外 |
0.20m |
2.25×105N/C |
径向向外 |
| 球外远处 |
1.00m |
8.99×103N/C |
径向向外 |
无限长均匀带电直线（线电荷密度 λ）：
E=2πε0rλ
其中 r 是到直线的垂直距离。电场方向垂直于直线向外（λ>0 时）。
无限大均匀带电平面（面电荷密度 σ）：
E=2ε0σ
电场方向垂直于平面向外（σ>0 时）。值得注意的是，该电场与到平面的距离无关。
两块平行带电板（带等量异号电荷，面电荷密度分别为 +σ 和 −σ）：
- 两板之间：E=ε0σ
- 两板之外：E=0
这是平行板电容器的基本原理。
将导体放入外电场中时，导体内部自由电荷会重新分布，直至达到静电平衡状态。静电平衡条件为：
- 导体内部电场处处为零：Eint=0
- 导体表面电场垂直于表面：Esurface⊥surface
- 整个导体是等势体：表面是等势面
以高斯定律可以证明，在静电平衡时：
- 导体的净电荷只能分布在表面
- 导体表面的电场强度为 E=σ/ε0
- 导体内部的空腔若没有电荷，则腔内电场为零（静电屏蔽）
与重力势能类似，电荷在电场中也具有势能。将试探电荷 q0 从点 A 移动到点 B 时，电场力所做的功等于电势能的减少：
ΔU=UB−UA=−WAB=−q0∫ABE⋅dl
由于静电场是保守场（∮E⋅dl=0），电势能与路径无关。
电势 V 定义为电势能除以试探电荷的电量：
V=q0U
单位：伏特（1V=1J/C）
电势差（电压）：
ΔVAB=VB−VA=−∫ABE⋅dl
取无穷远处为电势零点，点电荷 q 在距离 r 处的电势为：
V(r)=4πε01rq
数值示例： 一个质子（+e）在 1.0×10−10m 处产生的电势：
V=8.99×109×1.0×10−101.602×10−19=14.4V
电势是标量，因此电势的叠加是简单的代数和：
V=i∑Vi=4πε01i∑riqi
对于连续分布：
V=4πε01∫rdq
例 5： 电偶极子的电势。两个电荷 ±q 相距 d，在远离电偶极子的点 P（距离 r≫d，与偶极子轴夹角为 θ）处：
V(r,θ)=4πε01r2pcosθ
其中 p=qd 是电偶极矩。
数值示例： 设 q=3.2×10−19C（相当于两个质子电荷），d=1.0×10−10m，则 p=3.2×10−29C⋅m。
取 r=5.0×10−10m（约 5 个原子半径）：
| θ |
cosθ |
V(r,θ) |
| 0∘ （在轴上） |
1 |
1.15V |
| 90∘ （在中垂面） |
0 |
0V |
| 180∘ （反向） |
-1 |
−1.15V |
电场和电势之间存在密切的关系：
积分形式（从电场求电势差）：
VB−VA=−∫ABE⋅dl
微分形式（从电势求电场）：
E=−∇V=−(∂x∂Vi^+∂y∂Vj^+∂z∂Vk^)
在均匀电场中：E=−ΔV/d，其中 d 是沿电场方向的距离。
数值示例： 平行板电容器两板间电压 V=100V，板间距 d=0.01m，则板间电场：
E=dV=0.01100=1.0×104V/m
这种均匀电场的特性是平行板电容器广泛应用的重要原因。
等势面是电势相等的点构成的曲面。等势面具有以下性质：
- 等势面与电场线处处正交（垂直）
- 电场线指向电势降低的方向
- 等势面密集的地方电场强度大
- 沿等势面移动电荷，电场力不做功
| 电荷分布 |
等势面形状 |
电场线形状 |
| 点电荷 |
同心球面 |
径向射线 |
| 电偶极子 |
复杂闭合曲面包围两极 |
从 + 到 - 的曲线 |
| 平行板 |
平行于板面的平面 |
垂直于板面的直线 |
| 无限长带电直线 |
同轴圆柱面 |
径向射线 |
将导体放入外电场中时：
初始状态： 中间过程： 最终平衡态：
┌──────────┐ ┌──────┬───────┐ ┌──────────┐
│ │ │ ─ │ + │ │ ─ ─ ─ ─ │
│ 导体 │ → │ ─ E外 │ + │ → │ E内=0 │
│ │ │ ─ │ + │ │ + + + + │
└──────────┘ └──────┴───────┘ └──────────┘
E外≠0 电荷重新分布 静电平衡
关键结论：
- 导体内部 E=0
- 导体表面 E⊥ 表面，E=σ/ε0
- 电荷只分布在表面
利用导体的静电平衡特性，可以屏蔽外部电场对内部区域的影响：
- 空腔导体：外部电场不影响腔内部（法拉第笼）
- 接地导体壳：可以同时屏蔽内外电场相互影响
应用实例：
- 精密电子仪器使用金属外壳（法拉第笼）防止外部电磁干扰
- 高压输电线路的屏蔽线
- 同轴电缆的外层导体屏蔽
电容是导体储存电荷能力的度量，定义为导体所带电荷量与电势的比值：
C=VQ
单位：法拉（1F=1C/V）
常用电容器的电容很小，常见单位有 μF（微法）、nF（纳法）、pF（皮法）：
1μF=10−6F,1nF=10−9F,1pF=10−12F
C=dε0A
其中 A 是极板面积，d 是板间距。
数值示例： 收音机调谐电容，A=0.01m2（约 10×10cm），d=0.1mm=1×10−4m：
C=1×10−48.854×10−12×0.01=8.85×10−10F=885pF
| 类型 |
结构 |
电容公式 |
典型值 |
| 平行板 |
两块平行板 |
C=ε0A/d |
pF∼μF |
| 圆柱 |
同轴圆柱 |
C=2πε0L/ln(b/a) |
pF∼nF |
| 球形 |
同心球壳 |
C=4πε0ab/(b−a) |
pF |
| 孤立球 |
孤立导体球 |
C=4πε0R |
pF |
例 6： 孤立导体球的电容。地球的半径 R=6.37×106m：
C=4πε0R=4π×8.854×10−12×6.37×106=7.08×10−4F=708μF
这说明即使整个地球作为一个孤立导体，其电容也只有约 700μF，可见法拉是一个很大的单位。
| 连接方式 |
等效电容 |
电压分配 |
特点 |
| 串联 |
Ceq1=∑Ci1 |
Vi=CiCeqV |
总电容减小，分压 |
| 并联 |
Ceq=∑Ci |
各电容电压相同 |
总电容增大，储能增加 |
数值示例： C1=10μF，C2=20μF，C3=30μF。
| 连接方式 |
等效电容 |
电源电压 |
各端电压 |
各储存电荷 |
| 串联 |
5.45μF |
12V |
V1=6.55V，V2=3.27V，V3=2.18V |
各电容 Q=65.5μC |
| 并联 |
60μF |
12V |
各电容均为 12V |
Q1=120μC，Q2=240μC，Q3=360μC |
电容器充电后储存能量：
U=21CV2=21QV=2CQ2
数值示例： 一个 100μF 的电容器充电到 100V：
U=21×100×10−6×1002=0.5J
这个能量虽然不大，但如果瞬间放电，可产生强大的脉冲电流。这就是相机闪光灯、脉冲激光器、心脏除颤器等设备的工作原理。
| 类型 |
电容范围 |
电压范围 |
极性 |
应用 |
| 陶瓷电容 |
1pF∼100μF |
6.3V∼3kV |
无 |
高频旁路、谐振电路 |
| 电解电容 |
0.1μF∼1F |
6.3V∼100V |
有 |
电源滤波、储能 |
| 钽电容 |
0.1μF∼1000μF |
2.5V∼50V |
有 |
精密电路滤波 |
| 薄膜电容 |
100pF∼10μF |
50V∼2kV |
无 |
音频电路、高压滤波 |
| 超级电容 |
1F∼5000F |
2.5V∼2.7V |
无 |
能量缓存、后备电源 |
电介质（绝缘体）中的电子被原子核紧密束缚，不能自由移动。但在外电场作用下，电介质发生极化，表面出现束缚电荷。
极化的三种微观机制：
- 电子极化：外电场使原子中电子云相对原子核位移
- 取向极化：极性分子（如 H2O）的永久电偶极矩沿外电场方向排列
- 离子极化：正负离子相对位移（主要存在于离子晶体中）
引入电位移矢量 D 来描述介质中的电场：
D=ε0E+P
其中 P 是极化强度。
介质中的高斯定律：
∮SD⋅dA=Qf,enc
其中 Qf,enc 是高斯面内的自由电荷总量（不包括束缚电荷）。
对于线性各向同性电介质：
D=εE=εrε0E
其中 εr 是相对介电常数（电容率），ε=εrε0 是介电常数。
| 介质 |
相对介电常数 εr |
介电强度（V/m） |
| 真空 |
1 |
- |
| 空气（1atm） |
1.00059 |
3×106 |
| 聚苯乙烯 |
2.5 |
2×107 |
| 纸 |
3.7 |
1.5×107 |
| 玻璃 |
5 - 10 |
107 |
| 水（纯） |
80 |
- |
| 钛酸钡 |
250 - 4500 |
视配方而定 |
在电容器两极板间插入电介质后，电容增大：
C=εrC0
其中 C0 是真空时的电容。
数值示例： 平行板电容器，A=0.01m2，d=0.1mm。未加介质时 C0=885pF。
| 介质 |
εr |
电容 |
应用场景 |
| 真空 |
1 |
885pF |
标准参考 |
| 空气 |
1.00059 |
885.5pF |
可变电容 |
| 聚苯乙烯 |
2.5 |
2214pF |
精密电容 |
| 钛酸钡 |
2000 |
1.77μF |
小型化电容 |
可以看到，使用高介电常数材料可使电容提升数千倍，这是电容器小型化的关键技术。
当外加电场超过一定限度时，电介质失去绝缘性，这种现象称为电介质击穿。击穿电场强度（介电强度）决定了电容器的耐压能力。
数值示例： 一个平行板电容器，板间距 d=0.1mm：
- 介质为空气：击穿电压 Vmax=3×106×0.1×10−3=300V
- 介质为聚苯乙烯：击穿电压 Vmax=2×107×0.1×10−3=2000V
利用静电吸附原理去除工业废气中的颗粒物。工作原理：
- 高压电极将气体电离（产生大量离子）
- 离子与粉尘颗粒碰撞使其带电
- 带电颗粒在电场力作用下被集尘板吸附
| 参数 |
典型值 |
| 工作电压 |
30∼100kV |
| 除尘效率 |
99% 以上 |
| 适用颗粒 |
0.01∼50μm |
基于卡尔森（Chester Carlson）在 1938 年发明的原理：
- 充电：感光鼓表面均匀充电（约 600∼1000V）
- 曝光：激光照射使感光鼓表面放电，形成静电潜像
- 显影：带电碳粉被静电潜像吸附
- 转印：碳粉转移到纸张上
- 定影：加热使碳粉熔化固定在纸上
- 法拉第笼：金属网制成的笼子，使内部电场为零
- 静电手环：电子维修人员佩戴，防止静电放电损坏敏感元件
- 防静电包装：使用导电塑料袋包装电子器件
雷暴云中电荷分离的典型数据：
| 参数 |
典型值 |
| 云层电势差 |
108V 量级 |
| 放电电流 |
104∼105A |
| 雷击温度 |
30000K（约为太阳表面温度的 5 倍） |
| 能量释放 |
109∼1010J |
喷墨打印机中的静电技术：利用电场控制带电墨滴的轨迹。每个墨滴带有可控的电量，通过高压偏转板时，电场使其精确偏转到纸面指定位置。
激光打印机：与静电复印原理类似，使用激光在感光鼓上形成潜像，再通过静电吸附碳粉转印到纸张。
电荷守恒 ──→ 库仑定律 ──→ 电场强度 ──→ 电场叠加原理
│
├──→ 电通量 ──→ 高斯定律
│
└──→ 电势 ──→ 电势叠加原理
│
├──→ 等势面
│
└──→ 电势与电场关系
高斯定律 ──→ 导体静电平衡 ──→ 静电屏蔽
│
└──→ 电容 ──→ 电容器（串并联、储能）
│
└──→ 电介质（极化、介电常数）
| 概念 |
公式 |
适用条件 |
| 库仑定律 |
F=4πε01r2q1q2r^ |
静止点电荷 |
| 电场强度（点电荷） |
E=4πε01r2qr^ |
静止点电荷 |
| 电通量 |
ΦE=∫E⋅dA |
任意曲面 |
| 高斯定律 |
∮E⋅dA=Qenc/ε0 |
任意闭合曲面 |
| 电势（点电荷） |
V=4πε01rq |
静止点电荷 |
| 电场与电势关系 |
E=−∇V |
保守场 |
| 平行板电容 |
C=ε0A/d |
板间距远小于板尺寸 |
| 电容器储能 |
U=21CV2 |
线性电容器 |
| 介质中 D 与 E 关系 |
D=εrε0E |
线性各向同性介质 |
| 介质中电容 |
C=εrC0 |
介质充满极板间 |
静电学 ←→ 电路理论（电源、电容网络）
↓ ↓
电磁学 ←→ 麦克斯韦方程组（准静态近似）
↓ ↓
电动力学 → 电磁波、辐射
静电学是电磁学的基础，当电荷运动缓慢（即 v≪c 且不考虑电磁感应）时，静电学近似成立。当需要考虑变化的电场和磁场时，则进入电动力学和电磁波领域。
- 赵凯华, 陈熙谋. 《电磁学》（第4版）. 高等教育出版社
- 格里菲斯. 《电动力学导论》（Introduction to Electrodynamics）. 4th Edition, Cambridge University Press
- Halliday, Resnick, Walker. 《物理学基础》（Fundamentals of Physics）. Wiley
- Purcell, Morin. 《电磁学》（Electricity and Magnetism）. Cambridge University Press
- Feynman, Leighton, Sands. 《费曼物理学讲义》第二卷
- Serway, Jewett. 《物理学：科学家和工程师用》（Physics for Scientists and Engineers）
- 《静电学》Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Electrostatics
- Hyperphysics 静电场 - http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefie.html