微分几何（Differential Geometry）是数学中运用微积分理论研究几何图形在微元尺度上性质的学科。它研究曲线、曲面和流形的局部与整体性质，是现代数学的基石之一，也是广义相对论、理论物理、计算机图形学、机器人学和机器学习等领域的重要数学工具。
微分几何的起源可以追溯到17世纪微积分的发明。其发展历程大致可分为以下几个阶段：
古典微分几何（18-19世纪）：由欧拉（Leonhard Euler）和蒙日（Gaspard Monge）奠基，主要研究三维欧氏空间中的曲线和曲面。欧拉研究了曲线的曲率和曲面的主曲率，蒙日则将微积分方法系统应用于曲面的几何性质研究。到19世纪，高斯（Carl Friedrich Gauss）发表了著名的《关于曲面的一般研究》（Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827），提出了曲面内蕴几何的概念——即曲面的高斯曲率仅由曲面本身的第一基本形式决定，与嵌入到更高维空间的方式无关。这一发现被称为"惊世定理"（Theorema Egregium），标志着微分几何从古典走向了现代。
黎曼几何（19世纪后半叶）：黎曼（Bernhard Riemann）在1854年的就职演讲《论几何学基础的假设》（Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）中提出了将高斯的曲面几何推广到n维流形的划时代构想。他引入了黎曼流形的概念、度规张量（metric tensor）、黎曼曲率张量，为现代微分几何奠定了最坚实的理论基础。黎曼还提出了"流形"（manifold）的概念雏形，并区分了"无限扩展"与"有界但无界"的空间——这一洞察后来在广义相对论中得到了直接应用。黎曼几何使微分几何成为一门真正独立而深刻的学科。
现代微分几何（20世纪至今）：20世纪初，列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）引入了平行移动和联络的概念，嘉当（Élie Cartan）发展了活动标架法和外微分法，将微分几何建立在更坚实的代数基础之上。20世纪中叶，陈省身（Shiing-Shen Chern）在整体微分几何方面做出了开创性贡献，将拓扑学方法系统地引入微分几何，建立了陈示性类理论。随后，阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem, 1963）统一了分析、几何和拓扑；丘成桐（Shing-Tung Yau）在卡拉比猜想（Calabi Conjecture）上的突破（1976）建立了卡拉比-丘流形的存在性理论；唐纳森（Simon Donaldson）在四维流形上的工作揭示了微分结构的新现象。21世纪以来，佩雷尔曼（Grigori Perelman）利用里奇流（Ricci flow）证明庞加莱猜想（Poincaré Conjecture, 2003），标志着微分几何与几何分析的重要胜利。
微分几何的核心研究对象包括：
微分几何与众多数学分支有着深刻的交叉：
与微分方程：测地线方程是一组二阶非线性常微分方程，极小曲面问题涉及偏微分方程，里奇流（Ricci flow）则是非线性抛物型偏微分方程系统。佩雷尔曼（Perelman）正是利用里奇流的熵泛函方法证明了庞加莱猜想，这是微分方程与几何结合的最高成就之一。
与拓扑学：微分几何中大量的定理（如高斯-博内定理、Atiyah-Singer指标定理）建立了曲率和拓扑之间的深刻联系。陈示性类、庞特里亚金类、欧拉类等示性类理论既是微分几何的工具，也是微分拓扑和代数拓扑的核心内容。
与代数几何：复流形的微分几何性质（如凯勒流形、卡拉比-丘流形）与代数几何紧密相连。霍奇理论（Hodge Theory）为复流形的上同调提供了强有力的工具。
与理论物理：广义相对论的数学基础就是黎曼几何，规范场论使用纤维丛和联络的语言描述基本相互作用。弦论中的紧化涉及卡拉比-丘流形，而量子引力的各种进路都依赖于微分几何的概念。事实上，杨振宁先生和米尔斯（Mills）在建立规范场论时，正是使用了数学中纤维丛的语言——米尔斯回忆起他当年听陈省身讲微分几何的讲座，那些抽象概念后来在物理学中获得了精确的对应。
与计算机科学：计算机图形学中的曲面建模、网格处理、三维重建大量依赖微分几何的工具。近年来，几何深度学习更是直接在流形上定义神经网络结构，获得了优于传统欧氏方法的性能。
欧氏空间 (\mathbb{R}^3) 中的一条曲线通常用参数方程表示：
[
\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), \quad t \in [a, b]
]
其中 (t) 为参数。要求 (\mathbf{r}(t)) 是光滑的（即各分量无限可微），且 (\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0})（正则曲线条件），以保证曲线在任何点处都有明确的切方向。
弧长参数 (s) 是最自然的参数化方式，定义为：
[
s(t) = \int_a^t |\mathbf{r}'(u)| , du
]
用弧长参数化后，曲线满足 (|\mathbf{r}'(s)| = 1)，即切向量为单位向量，这极大简化了后续曲率和挠率的计算。弧长参数化在几何上是确定曲线形状的"规范"参数化方式，类似于力学中使用固有时间描述粒子的运动。
曲线的弧长公式与经典微积分中的曲线长度定义完全一致。在一维参数情况下，弧长微元 (ds = |\mathbf{r}'(t)|,dt)，积分即得总长。这一基本公式在曲面上推广为第一基本形式的弧长微元，在黎曼流形上则推广为度规张量的曲线长度公式。
Frenet-Serret 标架是曲线理论的核心工具，由法国数学家 Frenet（1847）和 Serret（1851）各自独立发现。对于以弧长参数 (s) 表示的曲线 (\mathbf{r}(s))，定义三个互相正交的单位向量场：
这三个单位向量构成一个右手正交坐标系，即 Frenet-Serret 标架。其运动学满足 Frenet-Serret 公式：
[
\begin{cases}
\mathbf{T}' = \kappa \mathbf{N}\
\mathbf{N}' = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B}\
\mathbf{B}' = -\tau \mathbf{N}
\end{cases}
]
其中 (\kappa) 和 (\tau) 分别是曲线的曲率和挠率。Frenet-Serret 公式可以写成更紧凑的矩阵形式：
\begin{pmatrix}
0 & \kappa & 0 \
-\kappa & 0 & \tau \
0 & -\tau & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} \ \mathbf{N} \ \mathbf{B}
\end{pmatrix}
]
这一公式的系数矩阵是反对称的，反映了 Frenet 标架是正交标架。从本质上说，Frenet-Serret 公式描述了正交标架沿曲线方向的变化率由曲率和挠率完全确定——这正是"曲线形状由曲率和挠率唯一决定"这一基本定理的微分版本。
曲率 (Curvature) (\kappa) 度量曲线偏离直线的程度，是切向量方向变化的速率：
[
\kappa(s) = |\mathbf{T}'(s)| = |\mathbf{r}''(s)|
]
对于一般参数 (t)，曲率公式为：
[
\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}
]
几何直观上，曲率越大，曲线在该点处弯曲得越"紧"。直线的曲率恒为零；半径为 (R) 的圆，曲率 (\kappa = 1/R)，即曲率半径的倒数。更一般地，在任意曲线上，某点的曲率倒数 (\rho = 1/\kappa) 称为该点的曲率半径，即密切圆（osculating circle）的半径——它是该点处最贴合曲线的圆的半径。
挠率 (Torsion) (\tau) 度量曲线偏离平面的程度，即副法向量方向的旋转速率：
[
\tau(s) = -\mathbf{B}'(s) \cdot \mathbf{N}(s) = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2}
]
平面曲线的挠率恒为零（因为副法向量是常向量）。空间曲线一般有非零挠率。例如，圆柱螺旋线 (\mathbf{r}(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)) 的曲率和挠率都是常数：
[
\kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \quad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}
]
当 (b = 0) 时螺旋线退化为圆（挠率为零）；当 (a = 0) 时退化为直线（曲率为零）。曲率和挠率均为常数是圆柱螺旋线的几何特征刻画。
在实际应用中，Frenet-Serret 公式是曲线设计和路径分析的基础工具。采用曲率-挠率的方式描述曲线形状，比通过空间坐标来描述具有更好的几何直观性——这正是为什么在路径规划、动画插值和机器人轨迹设计中，更多使用曲率约束而非位置约束的原因。
曲线论基本定理指出：在忽略刚体运动（平移和旋转）的情况下，曲线的形状完全由其曲率函数 (\kappa(s)) 和挠率函数 (\tau(s)) 唯一确定。换句话说，给定任意两个光滑函数 (\kappa(s) > 0) 和 (\tau(s))，存在唯一一条（至多相差一个刚体运动）空间曲线以它们为曲率和挠率。
这一基本定理的证明需要解 Frenet-Serret 微分方程组。该方程组是一组一阶线性常微分方程，由常微分方程理论可知，给定初始条件（起点位置和初始标架方向），解是存在且唯一的。这一结果深刻揭示了：曲线的几何本质可以通过两个标量函数的组合来完全刻画。这一思想在大地测量学和轨迹跟踪中有直接应用。
曲线的整体性质研究的是曲线全局的几何和拓扑特征：
四顶点定理（Four Vertex Theorem）：一条简单闭凸曲线至少有四个顶点（曲率的驻点，即 (\kappa'(s) = 0) 的点）。这一结果看似简单，但证明需要用到大范围分析的若干工具。
等周不等式（Isoperimetric Inequality）：给定周长的闭曲线，圆所围成的面积最大。数学公式为 (L^2 \geq 4\pi A)，等号当且仅当曲线为圆时成立。等周不等式是最古老的变分问题之一，在图形学中的形状优化问题中有众多应用。
全曲率定理（Fenchel's Theorem）：一条简单闭曲线的全曲率 (\oint \kappa(s) ds \geq 2\pi)，等号当且仅当曲线是平面凸曲线时成立。
Fary-Milnor 定理：如果一条空间结（knot）的全曲率小于 (4\pi)，则该结是平凡结。这一结果将几何曲率的概念与拓扑结的不变量联系了起来。
三维欧氏空间中的曲面通常表示为：
[
\mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad (u, v) \in \Omega \subset \mathbb{R}^2
]
其中 (u, v) 为曲面的参数坐标（称为曲线坐标或坐标补片）。要求 (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq \mathbf{0})（正则曲面条件），其中 (\mathbf{r}_u = \partial\mathbf{r}/\partial u)，(\mathbf{r}_v = \partial\mathbf{r}/\partial v)。这两个偏导数张成了曲面的切平面。正则性条件确保在曲面的每一个点处，切平面都是二维的，曲面在该点处没有折叠或奇点。
常见的曲面参数化例子包括：
第一基本形式（First Fundamental Form）描述了曲面在切平面上的内积结构，即曲面上的度量。它是曲面内蕴几何的基石。形式上可以写作：
[
I = ds^2 = E , du^2 + 2F , du,dv + G , dv^2
]
其中系数为：
[
E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v
]
第一基本形式决定了曲面上曲线的弧长、夹角和区域面积：
第一基本形式是曲面内蕴几何（intrinsic geometry）的核心，它只依赖于曲面上点的内禀度量，与曲面在三维空间中的具体嵌入方式无关。高斯在1827年的证明是惊世骇俗的：高斯曲率完全由第一基本形式决定，即使一个二维生物只能在其所在的曲面上测量长度和角度（无法感知第三维），它仍然能够计算所在曲面的高斯曲率。这被称为惊世定理（Theorema Egregium）。
第二基本形式（Second Fundamental Form）描述了曲面在空间中的弯曲方式，即曲面偏离其切平面的程度。它与曲面的外蕴几何（extrinsic geometry）有关：
[
II = L , du^2 + 2M , du,dv + N , dv^2
]
其中系数为：
[
L = \mathbf{r}{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}
]
这里 (\mathbf{n}) 是曲面的单位法向量：
[
\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}
]
第二基本形式给出的是曲面的外蕴几何性质，它依赖于曲面的具体嵌入方式，是第一基本形式所不能决定的。例如，平板和卷起的纸张虽然内蕴几何相同（第一基本形式相同——你可以在纸上量出同样的距离和角度），但外蕴几何不同（第二基本形式不同——一张是平的，一张是弯曲的）。这正是"内禀曲率"和"外禀曲率"的区别所在。
从计算角度，第二基本形式的系数计算涉及二阶偏导数，相当于测量曲面的"加速度"信息（曲率本质上是二阶信息），而第一基本形式只需要一阶偏导数。从深层看，第一基本形式给出了切空间中的度量，第二基本形式则给出了法方向上的曲率信息，两者结合才能完整刻画曲面的局部几何。
通过第一和第二基本形式，可以定义曲面上任意方向上的法曲率，它度量曲面在该方向上的弯曲程度：
[
\kappa_n = \frac{II}{I} = \frac{L,du^2 + 2M,du,dv + N,dv2}{E,du2 + 2F,du,dv + G,dv^2}
]
法曲率沿不同方向变化，其最大值和最小值称为主曲率 (Principal Curvatures) (\kappa_1) 和 (\kappa_2)。主曲率是以下特征方程的特征值：
[
\det \begin{pmatrix} L - \kappa E & M - \kappa F \ M - \kappa F & N - \kappa G \end{pmatrix} = 0
]
对应的特征方向称为主方向（principal directions），它们始终正交（只要 (\kappa_1 \neq \kappa_2)）。由主曲率可以导出两个重要的量：
高斯曲率（Gaussian Curvature）(K = \kappa_1 \kappa_2)：高斯曲率是内蕴的，即仅由第一基本形式决定——这就是惊世定理的内容。高斯曲率的符号决定了曲面在该点处的几何形状：
平均曲率（Mean Curvature）(H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2})：平均曲率与外蕴几何有关，不满足内蕴性。平均曲率是极小曲面的核心特征：极小曲面就是平均曲率处处为零的曲面。平均曲率在材料科学中描述了表面张力的行为，在曲面建模中用于形变和去噪。
Weingarten 映射（也称形状算子）(S) 是一个从切空间到切空间的线性映射，它将切向量 (X) 映射为法向量在该方向上的变化率的负值：
[
S(X) = -\nabla_X \mathbf{n}
]
形状算子的矩阵形式由第二基本形式的系数给出。它联系了第一和第二基本形式：(S = I^{-1} \cdot II)。形状算子的特征值正是主曲率 (\kappa_1, \kappa_2)，特征向量正是主方向。形状算子是理解曲面弯曲本质的最简洁代数框架——它告诉我们曲面如何"感知"三维空间的嵌入方式。
高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem）是微分几何中最重要的定理之一，它将曲面的局部几何性质（高斯曲率）与整体拓扑性质（欧拉示性数）联系在一起：
对于紧致带边有向曲面 (M)：
[
\int_M K , dA + \int_{\partial M} \kappa_g , ds = 2\pi \chi(M)
]
其中 (\chi(M)) 是曲面的欧拉示性数，(\kappa_g) 是边界曲线的测地曲率。
无边界时的经典形式：
[
\int_M K , dA = 2\pi \chi(M)
]
这一公式的深刻意义在于：无论曲面如何变形（可以拉伸、压缩、扭曲），只要不改变其拓扑结构（不撕裂、不粘合），高斯曲率的总积分是一个拓扑不变量——一个纯整数，等于 (2\pi) 乘以欧拉示性数。
具体例子：
高斯-博内定理的推广包括陈省身在1944年给出的高维推广——陈-高斯-博内定理（Chern-Gauss-Bonnet Theorem），它将高斯曲率用庞特里亚金形式（Pfaffian）推广到了偶数维黎曼流形。这一工作奠定了整体微分几何的基础，也是陈示性类的有力应用。
极小曲面 (Minimal Surface) 是平均曲率处处为零 ((H = 0)) 的曲面。物理上，它是张在固定边界上的面积最小的曲面（如皂膜实验）。从变分法的角度看，极小曲面是面积泛函的临界点——即对曲面的任意微小形变，面积的变分为零。
经典的极小曲面包括：
悬链面 (Catenoid)：由悬链线旋转得到的极小曲面。数学上表示为 (\mathbf{r}(u, v) = (a\cosh(u/a)\cos v, a\cosh(u/a)\sin v, u))，是第一个被发现的非平凡极小曲面（欧拉，1744年）。
螺旋面 (Helicoid)：由螺旋运动生成的极小曲面。参数化为 (\mathbf{r}(u, v) = (u\cos v, u\sin v, cv))。悬链面和螺旋面在等距意义下可以相互连续变形——这一动态过程被称为"悬链面-螺旋面变形"。
恩内帕曲面 (Enneper Surface)：由参数方程定义的自相交极小曲面，具有丰富的对称性。
三周期极小曲面（Triply Periodic Minimal Surfaces）：如Schwarz P型、D型、G型曲面。这些曲面在三个方向上都周期排列，结构极其有趣，在生物膜、液晶和材料科学中有显著应用。
极小曲面的研究近年来在大数据可视化领域也找到了新的应用：保形映射和极小曲面被用于将复杂的拓扑结构扁平化处理，帮助数据可视化和形状匹配。
测地线 (Geodesic) 是曲面上局部最短的曲线。在微分几何的语言中，测地线是测地曲率处处为零的曲线。测地线的概念是欧氏空间中"直线"在弯曲曲面上的自然推广——它是"最直的"曲线，也是"局部最短"的曲线。
测地线满足的微分方程可以由变分法导出（欧拉-拉格朗日方程）：
[
\frac{d^2 uk}{ds2} + \Gamma^k_{ij} \frac{du^i}{ds} \frac{du^j}{ds} = 0
]
其中 (\Gamma^k_{ij}) 是曲面的克里斯托费尔符号（Christoffel symbols），由第一基本形式唯一确定。这是一个二阶常微分方程组，给定初始位置和初始方向可以唯一确定一条测地线。
重要例子和性质：
测地线在计算几何和机器人学中有重要应用：在配置空间（configuration space）中规划最短路径本质上就是在黎曼流形上求解测地线问题。测地线距离（也称测地距离，geodesic distance）是形状分析中最基础的相似性度量之一。
黎曼流形 ((M, g)) 是一个光滑流形 (M) 配上一个黎曼度量 (g)，其中 (g) 是一个光滑的对称正定二阶协变张量场，定义了每个切空间上的内积。在局部坐标 ((x^1, \ldots, x^n)) 下，黎曼度量可以写作：
[
ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j
]
黎曼度量为流形提供了长度、角度和体积的概念。具体来说：
黎曼流形的概念从曲面的二维推广到任意维数，是研究弯曲空间的基本框架。在欧氏空间 (\mathbb{R}^n) 中，黎曼度量退化为标准欧氏度量 (g_{ij} = \delta_{ij})（克罗内克δ）；在球面上，度量为 (ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta, d\phi^2)（标准球面度量）。
列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）是黎曼流形上唯一的无挠度量联络，它定义了如何沿曲线平行移动向量场。在局部坐标下，联络由克里斯托费尔符号 (\Gamma^k_{ij}) 完全确定：
[
\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} (\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij})
]
其中 (g^{kl}) 是度量张量 (g_{kl}) 的逆矩阵元素。(\Gamma^k_{ij}) 关于下标 (i, j) 是对称的（即 (\Gamma^k_{ij} = \Gamma^k_{ji})），这一性质称为"无挠"（torsion-free）。
协变导数 (\nabla) 是联络的微分算子形式，用于对张量场求导。对于向量场 (Y = Y^j \partial_j) 沿方向 (X = X^i \partial_i) 的协变导数为：
[
\nabla_X Y = (X^i \partial_i Y^j + \Gamma^j_{ik} X^i Y^k) \partial_j
]
协变导数之所以必要，是因为在弯曲流形上，对向量场分量直接求偏导的结果并不具有张量性——换句话说，它依赖于坐标系的选取。而协变导数的结果是一个张量，具有坐标无关性。这正是为什么在广义相对论中必须使用协变导数来表述物理定律。
平行移动（Parallel Transport）是沿一条曲线将向量从一个点移动到另一个点的过程，保持向量沿曲线方向不变（即协变导数为零）。平行移动依赖于路径——这是弯曲流形的核心特征。沿一条闭合曲线平行移动一个向量后，返回的向量与原始向量的差异由曲率张量刻画。这一现象在物理学中有直接对应：杨-米尔斯规范场论中的"威尔逊环"（Wilson loop）度量了闭合路径上规范势的弯曲量。在广义相对论中，时空中的纤维漂移（parallel transport of a gyroscope）会产生测地进动（geodesic precession），这是一个可观测效应。
黎曼曲率张量 (R) 是黎曼几何中最重要的张量，它完整描述了流形的弯曲程度。在局部坐标下，曲率张量分量为：
[
R^i_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{mk} \Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{ml} \Gamma^m_{jk}
]
从几何直观角度，黎曼曲率张量衡量了协变导数的不可交换性：
[
[\nabla_X, \nabla_Y] Z - \nabla_{[X, Y]} Z = R(X, Y) Z
]
也就是说，如果你沿两个不同方向 (X) 和 (Y) 先后进行协变微分，交换它们的结果之差正好由曲率张量给出。当且仅当曲率张量为零时，协变微分是可交换的，流形是平坦的。
黎曼曲率张量满足以下重要的对称性和恒等式：
由于这些对称性，在 n 维流形上，黎曼曲率张量的独立分量数为 (n2(n2 - 1)/12)。在 2 维时简化为 1 个独立分量（即高斯曲率），在 3 维时有 6 个，在 4 维时空中有 20 个。
从黎曼曲率张量中，可以通过缩并得到两个重要的简化曲率量：
里奇曲率张量（Ricci Curvature Tensor）：(R_{ij} = R^k_{ikj})。它实际上是曲率张量沿第一个和第三个指标的迹，对称性保证了 (R_{ij} = R_{ji})。
里奇曲率的迹给出了标量曲率（Scalar Curvature）：(R = g^{ij} R_{ij})。标量曲率是一个标量函数，度量了流形上每个点处的平均截面曲率。
里奇曲率在广义相对论中具有核心地位——爱因斯坦场方程中的曲率项正是里奇曲率的变体：
[
R_{ij} - \frac{1}{2} g_{ij} R + \Lambda g_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij}
]
其中 (\Lambda) 是宇宙学常数，(T_{ij}) 是能量-动量张量。方程的左边是时空的几何（通过里奇曲率和标量曲率表达），右边是物质和能量分布。这一方程极富诗意地表达了"物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动"。
此外，里奇曲率也出现在里奇流（Ricci Flow）方程中：
[
\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}
]
这是一个非线性抛物型偏微分方程系统，由汉密尔顿（Richard Hamilton）在1982年引入。其基本思想是让度量按照里奇曲率的反方向演化，就像热传导方程让温度分布均匀化一样——里奇流让曲率分布均匀化。佩雷尔曼（Grigori Perelman）在2003年通过引入熵泛函（W-entropy）和L-长度等原创工具，成功证明里奇流的极限行为和Ricci流不出现奇点时的非坍塌定理，从而解决了庞加莱猜想和更一般的瑟斯顿几何化猜想。这一成就是21世纪数学界最重大的突破之一。
截面曲率（Sectional Curvature）是曲率张量在二维截面上的限制。给定切空间中由两个线性无关向量 (X, Y) 张成的二维子空间 (\sigma)，截面曲率为：
[
K(\sigma) = \frac{g(R(X, Y)Y, X)}{g(X, X)g(Y, Y) - g(X, Y)^2}
]
截面曲率是黎曼流形最基本的曲率概念——由所有二维截面上的截面曲率可以唯一恢复完整的黎曼曲率张量。在二维曲面上，截面曲率退化为高斯曲率。
根据截面曲率的符号可以对黎曼流形进行分类：
分类定理：单连通完备常曲率空间的等距分类正好是这三种标准模型空间。这一结果深刻揭示了曲率作为几何分类工具的威力。
整体微分几何研究流形的局部几何性质如何影响其整体拓扑结构。核心问题包括：给定曲率条件，流形的拓扑是什么？给定拓扑约束，流形上可容许什么样的度量？
这方面的代表性定理包括：
Bonnet-Myers定理：如果完备黎曼流形的里奇曲率有正下界 (R_{ij} \geq (n-1)K g_{ij})（其中 (K > 0)），那么流形的直径 (\text{diam}(M) \leq \pi / \sqrt{K})，并且基本群是有限的。这意味着正里奇曲率不仅限制了流形的尺寸，还限制了其拓扑复杂程度。
Synge定理：偶数维紧定向正截面曲率流形一定单连通；奇数维紧正截面曲率流形一定可定向。这一定理排除了许多潜在的流形例子，例如 (\mathbb{RP}^n)（实投影空间）在 (n) 为偶数且大于 1 时不能承载正截面曲率度量。
Hadamard-Cartan定理：如果完备单连通黎曼流形的截面曲率处处非正，则该流形微分同胚于欧氏空间 (\mathbb{R}^n)。这是"非正曲率意味着整体拓扑简单"的精确表述。但需要指出的是，在这种流形上可以有非常丰富的几何结构——例如，负曲率流形上存在大量的闭测地线。
球面定理（Sphere Theorem, Berger-Klingenberg）：如果一个完备单连通黎曼流形的截面曲率满足 (1/4 < K \leq 1)，则该流形同胚于标准球面 (S^n)。这一系列结果（1/4-pinching定理）是几何学的典范，是拓扑约束和曲率条件之间的精确对应。
陈示性类（Chern Classes）是复向量丛上的拓扑不变量，由陈省身在1940年代引入。它们是示性类理论中最重要的研究对象之一，并在代数几何、微分几何、代数拓扑和理论物理中有广泛应用。
设 (E) 为流形 (M) 上的复向量丛，其陈示性类 (c_k(E) \in H^{2k}(M; \mathbb{Z})) 可由联络的曲率形式通过陈-韦尔（Chern-Weil）理论计算。
陈-韦尔理论的核心思想是将曲率形式的对称函数作为闭微分形式，其在德拉姆上同调中的上同调类与联络的选取无关，因此是流形的拓扑不变量。对于复向量丛，总陈类 (c(\Omega) = \det(I + \frac{i}{2\pi}\Omega))，展开后每一项给出了各阶陈类：
[
\det\left(\frac{i}{2\pi} \Omega + I\right) = 1 + c_1(\Omega) + c_2(\Omega) + \cdots + c_n(\Omega)
]
陈省身的工作使微分几何从局部走向整体，极大地推动了20世纪数学的发展。他于1984年获得了沃尔夫数学奖。在物理学中，陈示性类与量子霍尔效应中的拓扑量子数（TKNN不变量）有直接联系，也是拓扑绝缘体的理论基础。
阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）是20世纪数学最深刻的成就之一。它将微分算子的分析指标与流形的拓扑不变量联系起来：
[
\text{Ind}(D) = \int_M \hat{A}(M) \wedge \text{ch}(\sigma(D))
]
指标定理的特别之处在于，它将一个分析量（算子的核空间维数与余核空间维数之差）表达为一个拓扑量（流形的示性数和向量丛的陈类的某种组合的积分）。这架起了分析学和拓扑学之间的桥梁。
该定理统一了许多经典结果：
指标定理还在理论物理中有着深刻影响，特别是在反常消除（anomaly cancellation）和量子场论的拓扑方面。
几何分析是当代微分几何中最活跃的研究领域之一，它运用偏微分方程和变分法研究几何问题。主要方向包括：
丘成桐在几何分析方面的贡献尤为突出。他于1976年证明了卡拉比猜想，建立了卡拉比-丘流形的存在性理论，这一工作在弦论和代数几何中产生了深远影响，并因此获得了菲尔兹奖。丘成桐在极小曲面、正标量曲率和广义相对论中的正质量定理等方面也有开创性贡献。
爱因斯坦的广义相对论完全建立在黎曼几何的语言之上。时空被建模为一个四维洛伦兹流形（即伪黎曼流形，度规的符号差为 ((-, +, +, +))），其度量由爱因斯坦场方程决定：
[
G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
]
其中 (G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu\nu}) 是爱因斯坦张量，(T_{\mu\nu}) 是能量-动量张量，(\Lambda) 是宇宙常数。该方程表明，时空的弯曲由物质和能量的分布决定，而物质的运动则沿着时空的测地线进行——将引力从力的概念彻底转化为几何的概念。
广义相对论的可验证预言包括：水星近日点进动（已观测证实）、光线在引力场中的弯曲（1919年爱丁顿远征队观测日食验证）、引力红移和引力波的存在（2015年LIGO首次直接探测到引力波）。所有这些都可以用黎曼几何的语言来描述——这是微分几何与物理结合最光辉的范例。
微分几何在计算机图形学中有着广泛的应用：
近年来，微分几何在机器学习和数据科学中扮演着越来越重要的角色：
机器人学和自动控制领域也大量使用微分几何的语言和方法：
微分几何中的纤维丛和联络理论被用于描述物理中的拓扑缺陷：
离散微分几何（Discrete Differential Geometry, DDG）是近年来蓬勃发展的一个方向，它研究如何在离散曲面（如三角网格）上定义和计算曲率、测地线和拉普拉斯算子等几何量。其核心理念是保持几何结构的不变性：离散算子的定义应满足高斯-博内定理、斯托克斯定理等核心定理的离散版本。
主要工具包括：
DDG在计算机图形学中的实际应用包括：纹理映射、重新网格化（remeshing）、网格参数化和数字几何处理等。热扩散法求解测地线的算法（2013年由Crane等人提出）是该领域的标志性成果之一。
学习微分几何需要以下数学基础：
如果有条件，学习一些微分流形的基础知识（如光滑结构、切空间、向量场的概念）会非常有帮助，但也不是严格必需——许多优秀的入门教材会从三维曲线曲面讲起，逐步引入流形概念。
入门阶段：
进阶阶段：
深入阶段：
此文为数学知识库的一部分。微分几何是一门兼具优美理论深度和广泛实际应用的学科——从描述肥皂泡形状的极小曲面到解释宇宙结构的广义相对论，它贯穿了从微观到宏观的几何世界。