数学常数（Mathematical Constants）是在数学中具有特殊意义、固定不变的数值。它们如同数学宇宙中的"物理常数"，在数论、分析、几何、概率等多个分支中反复出现，构成了数学理论的基石。
本文系统介绍数学中最重要的常数——包括它们的定义、历史、数学性质、计算公式以及在实际应用中的意义，并给出具体的数值示例帮助理解。
圆周率 π π
π = C d ≈ 3.14159265358979323846 … π = d C ≈ 3.14159265358979323846 …
π π 超越数 （transcendental number），这意味着它不是任何有理系数代数方程的解。1873年，法国数学家埃尔米特（Hermite）首先证明了 e e π π π π
小数位数
π π 误差范围
1
3.1
约 4.1 × 10 − 2 4.1 × 1 0 − 2
2
3.14
约 1.6 × 10 − 3 1.6 × 1 0 − 3
3
3.142
约 4.1 × 10 − 4 4.1 × 1 0 − 4
4
3.1416
约 2.7 × 10 − 5 2.7 × 1 0 − 5
5
3.14159
约 8.9 × 10 − 7 8.9 × 1 0 − 7
6
3.141593
约 5.1 × 10 − 7 5.1 × 1 0 − 7
10
3.1415926536
误差 < 1 × 10 − 10 < 1 × 1 0 − 10
实际应用 ：用 π ≈ 3.14 π ≈ 3.14
A = π r 2 ≈ 3.14 × 25 = 78.5 cm 2 A = π r 2 ≈ 3.14 × 25 = 78.5 cm 2
用高精度 π π
A = 3.1415926536 × 25 = 78.53981634 cm 2 A = 3.1415926536 × 25 = 78.53981634 cm 2
两者相差约 0.04 cm 2 0.04 cm 2
莱布尼茨公式 （Leibniz formula）：
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − ⋯ = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n
让我们看看这个级数的收敛速度：
项数 N N
部分和 S N S N
π π 4 S N 4 S N 误差
1
1.00000
4.00000
8.6 × 10 − 1 8.6 × 1 0 − 1
10
0.76046
3.04184
9.9 × 10 − 2 9.9 × 1 0 − 2
100
0.78290
3.13159
1.0 × 10 − 2 1.0 × 1 0 − 2
1,000
0.78490
3.13959
2.0 × 10 − 3 2.0 × 1 0 − 3
10,000
0.78515
3.14059
1.0 × 10 − 3 1.0 × 1 0 − 3
1,000,000
0.785398
3.141593
< 1 × 10 − 6 < 1 × 1 0 − 6
可见莱布尼茨公式收敛极慢——需要约 100 万项才能达到小数点后 6 位的精度。这正是为什么数学家发展了更高效的算法。
巴塞尔问题 （Basel problem）由欧拉在1734年解决：
π 2 6 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + ⋯ 6 π 2 = n = 1 ∑ ∞ n 2 1 = 1 + 4 1 + 9 1 + 16 1 + 25 1 + ⋯
收敛速度快得多：
S 3 = 1 + 1 4 + 1 9 = 1.36111... ⟹ π ≈ 6 × 1.36111 = 2.857... S 3 = 1 + 4 1 + 9 1 = 1.36111... ⟹ π ≈ 6 × 1.36111 = 2.857...
S 10 = 1.5497677... ⟹ π ≈ 3.049... S 10 = 1.5497677... ⟹ π ≈ 3.049...
S 100 = 1.6349839... ⟹ π ≈ 3.132... S 100 = 1.6349839... ⟹ π ≈ 3.132...
S 1000 ≈ 1.6439345... ⟹ π ≈ 3.1406... S 1000 ≈ 1.6439345... ⟹ π ≈ 3.1406...
拉马努金公式 （Ramanujan's formula）：
1 π = 2 2 9801 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( 1103 + 26390 n ) ( n ! ) 4 396 4 n π 1 = 9801 2 2 n = 0 ∑ ∞ ( n ! ) 4 39 6 4 n ( 4 n )! ( 1103 + 26390 n )
每一项能提供约 8 位有效数字。
丘德诺夫斯基算法 （Chudnovsky algorithm）：
1 π = 12 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 6 n ) ! ( 13591409 + 545140134 n ) ( 3 n ) ! ( n ! ) 3 640320 3 n + 3 / 2 π 1 = 12 n = 0 ∑ ∞ ( 3 n )! ( n ! ) 3 64032 0 3 n + 3/2 ( − 1 ) n ( 6 n )! ( 13591409 + 545140134 n )
这是目前计算机计算 π π π π 105 万亿位 。
高斯-勒让德算法 （Gauss-Legendre algorithm）：
迭代过程：
初始化：a 0 = 1 a 0 = 1 b 0 = 1 2 b 0 = 2 1 t 0 = 1 4 t 0 = 4 1 p 0 = 1 p 0 = 1
迭代：a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n a n + 1 = 2 a n + b n , b n + 1 = a n b n
t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n
收敛到 π π π ≈ ( a n + 1 + b n + 1 ) 2 4 t n + 1 π ≈ 4 t n + 1 ( a n + 1 + b n + 1 ) 2
收敛速度表（以实数迭代为例）：
迭代次数
a n a n b n b n π π
0
1.0000000000
0.7071067812
3.1415926468
1
0.8535533906
0.8408964153
3.1415926536
2
0.8472249029
0.8472012667
3.1415926536
3
0.8472130848
0.8472130847
3.1415926536
仅 3 次迭代 就达到了小数点后 10 位的精度。这是一个二次收敛 （quadratic convergence）算法——每次迭代，有效位数翻倍。
假设我们在一个 2 × 2 2 × 2
π ≈ 4 × 圆内点数 总点数 π ≈ 4 × 总点数 圆内点数
随机点数
圆内点数
估算 π π
误差
100
79
3.1600
1.84 × 10 − 2 1.84 × 1 0 − 2
1,000
790
3.1600
1.84 × 10 − 2 1.84 × 1 0 − 2
10,000
7,856
3.1424
8.1 × 10 − 4 8.1 × 1 0 − 4
100,000
78,527
3.1411
4.9 × 10 − 4 4.9 × 1 0 − 4
1,000,000
785,305
3.1412
3.6 × 10 − 4 3.6 × 1 0 − 4
蒙特卡洛方法的收敛速度是 O ( 1 / N ) O ( 1/ N )
自然常数 e e
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ≈ 2.71828182845904523536 … e = n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n ≈ 2.71828182845904523536 …
e e 超越数 （由埃尔米特在1873年证明）。
n n ( 1 + 1 n ) n ( 1 + n 1 ) n 与 e e
1
2.00000
2.72 × 10 − 1 2.72 × 1 0 − 1
10
2.59374
1.25 × 10 − 1 1.25 × 1 0 − 1
100
2.70481
1.34 × 10 − 2 1.34 × 1 0 − 2
1,000
2.71692
1.36 × 10 − 3 1.36 × 1 0 − 3
10,000
2.71815
1.36 × 10 − 4 1.36 × 1 0 − 4
100,000
2.71827
1.36 × 10 − 5 1.36 × 1 0 − 5
可以看到，每增加一个数量级，误差缩小约 10 倍——这是一阶收敛。
e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ e = n = 0 ∑ ∞ n ! 1 = 1 + 1 + 2 1 + 6 1 + 24 1 + 120 1 + ⋯
这个级数收敛非常快 ：
n n ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ k = 0 n k ! 1 与 e e
0
1.00000
1.718 × 10 0 1.718 × 1 0 0
1
2.00000
7.18 × 10 − 1 7.18 × 1 0 − 1
2
2.50000
2.18 × 10 − 1 2.18 × 1 0 − 1
3
2.66667
5.15 × 10 − 2 5.15 × 1 0 − 2
4
2.70833
9.95 × 10 − 3 9.95 × 1 0 − 3
5
2.71667
1.62 × 10 − 3 1.62 × 1 0 − 3
6
2.71806
2.27 × 10 − 4 2.27 × 1 0 − 4
7
2.71825
2.79 × 10 − 5 2.79 × 1 0 − 5
8
2.71828
3.10 × 10 − 6 3.10 × 1 0 − 6
仅取前 9 项（n = 0 n = 0 n = 8 n = 8 10 ! = 3 , 628 , 800 10 ! = 3 , 628 , 800 3 × 10 − 7 3 × 1 0 − 7
e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + ⋯ e = 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 6 + ⋯ 1 1 1 1 1 1 1 1
这是一个优美的模式：2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , … 2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , …
∫ 1 e 1 x d x = 1 ∫ 1 e x 1 d x = 1
这表示：从 x = 1 x = 1 x = e x = e 1 / x 1/ x
验证：ln ( e ) = ∫ 1 e 1 x d x = 1 ln ( e ) = ∫ 1 e x 1 d x = 1 e e
复利计算 ：如果本金 P P r r n n
A = P ( 1 + r n ) n t A = P ( 1 + n r ) n t
当 n → ∞ n → ∞
A = P e r t A = P e r t
数值示例 ：P = 1000 P = 1000 r = 5 % r = 5% t = 10 t = 10
每年计息一次：A = 1000 ( 1.05 ) 10 = 1628.89 A = 1000 ( 1.05 ) 10 = 1628.89
每月计息一次：A = 1000 ( 1 + 0.05 / 12 ) 120 = 1647.01 A = 1000 ( 1 + 0.05/12 ) 120 = 1647.01
每天计息一次：A = 1000 ( 1 + 0.05 / 365 ) 3650 = 1648.61 A = 1000 ( 1 + 0.05/365 ) 3650 = 1648.61
连续复利：A = 1000 e 0.5 = 1648.72 A = 1000 e 0.5 = 1648.72
指数衰减 ：放射性衰变公式 N ( t ) = N 0 e − λ t N ( t ) = N 0 e − λ t
统计学 ：泊松分布 P ( X = k ) = λ k e − λ k ! P ( X = k ) = k ! λ k e − λ
欧拉恒等式 ：
e i π + 1 = 0 e iπ + 1 = 0
这个等式连接了五个最重要的数学常数：e e π π i i 1 1 0 0
i 2 = − 1 i 2 = − 1
i i − 1 − 1 i i C C
C = { a + b i ∣ a , b ∈ R } C = { a + bi ∣ a , b ∈ R }
i i
n n i n i n
0
1
1
i i
2
− 1 − 1
3
− i − i
4
1
5
i i
...
循环
在复平面上，乘以 i i 90 ∘ 9 0 ∘
实数轴上的点 1 1 i i i i
再乘以 i i − 1 − 1
再乘以 i i − i − i
再乘以 i i 1 1 360 ∘ 36 0 ∘
e i θ = cos θ + i sin θ e i θ = cos θ + i sin θ
具体数值示例 ：
θ = 0 θ = 0 e i 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 e i 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 θ = π 2 θ = 2 π e i π / 2 = cos π 2 + i sin π 2 = i e iπ /2 = cos 2 π + i sin 2 π = i θ = π θ = π e i π = cos π + i sin π = − 1 e iπ = cos π + i sin π = − 1 θ = 2 π θ = 2 π e i 2 π = cos 2 π + i sin 2 π = 1 e i 2 π = cos 2 π + i sin 2 π = 1
交流电路分析 ：使用复数表示阻抗，Z = R + i X Z = R + i X 量子力学 ：波函数 ψ ( x , t ) = A e i ( k x − ω t ) ψ ( x , t ) = A e i ( k x − ω t ) 控制理论 ：拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程信号处理 ：傅里叶变换使用 e − i 2 π f t e − i 2 π f t
黄金分割 φ φ
a + b a = a b = φ ≈ 1.61803398874989484820 … a a + b = b a = φ ≈ 1.61803398874989484820 …
等价地：
φ = 1 + 5 2 ≈ 1.6180339887 … φ = 2 1 + 5 ≈ 1.6180339887 …
另一个相关常数是 Φ = φ − 1 = 5 − 1 2 ≈ 0.6180339887 … Φ = φ − 1 = 2 5 − 1 ≈ 0.6180339887 …
φ φ x 2 − x − 1 = 0 x 2 − x − 1 = 0
φ 2 = φ + 1 φ 2 = φ + 1
推广：
φ 3 = φ × φ 2 = φ ( φ + 1 ) = φ 2 + φ = 2 φ + 1 φ 3 = φ × φ 2 = φ ( φ + 1 ) = φ 2 + φ = 2 φ + 1
n n φ n φ n 展开式
0
1
1
1
1.618...
φ φ
2
2.618...
φ + 1 φ + 1
3
4.236...
2 φ + 1 2 φ + 1
4
6.854...
3 φ + 2 3 φ + 2
5
11.090...
5 φ + 3 5 φ + 3
系数恰好是斐波那契数列！
φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ φ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋱ 1 1 1 1
斐波那契数列定义：F 0 = 0 F 0 = 0 F 1 = 1 F 1 = 1 F n = F n − 1 + F n − 2 F n = F n − 1 + F n − 2
相邻项之比趋近于 φ φ
n n F n F n F n + 1 / F n F n + 1 / F n 与 φ φ
1
1
1.00000
6.18 × 10 − 1 6.18 × 1 0 − 1
2
1
2.00000
3.82 × 10 − 1 3.82 × 1 0 − 1
3
2
1.50000
1.18 × 10 − 1 1.18 × 1 0 − 1
4
3
1.66667
4.86 × 10 − 2 4.86 × 1 0 − 2
5
5
1.60000
1.80 × 10 − 2 1.80 × 1 0 − 2
6
8
1.62500
6.97 × 10 − 3 6.97 × 1 0 − 3
7
13
1.61538
2.65 × 10 − 3 2.65 × 1 0 − 3
8
21
1.61905
1.02 × 10 − 3 1.02 × 1 0 − 3
9
34
1.61765
3.87 × 10 − 4 3.87 × 1 0 − 4
10
55
1.61818
1.47 × 10 − 4 1.47 × 1 0 − 4
比奈公式（Binet's formula）给出了斐波那契数列的通项公式：
F n = φ n − ( − φ ) − n 5 F n = 5 φ n − ( − φ ) − n
数值验证 ：n = 10 n = 10
F 10 = φ 10 − ( − φ ) − 10 5 ≈ 122.991869 − 0.008131 2.236068 ≈ 55 F 10 = 5 φ 10 − ( − φ ) − 10 ≈ 2.236068 122.991869 − 0.008131 ≈ 55
最优化中的黄金分割搜索 ：在单峰函数上寻找最小值的高效算法自然界 ：向日葵的种子排列、贝壳的螺旋结构建筑设计 ：帕特农神庙、金字塔中的比例计算机科学 ：斐波那契堆、斐波那契搜索
2 2
( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) 2 = 2
2 ≈ 1.41421356237309504880 … 2 ≈ 1.41421356237309504880 …
2 2
证法概要 ：2 = p q 2 = q p p , q p , q 2 = p 2 q 2 2 = q 2 p 2 p 2 = 2 q 2 p 2 = 2 q 2 p 2 p 2 p p p = 2 k p = 2 k 4 k 2 = 2 q 2 4 k 2 = 2 q 2 q 2 = 2 k 2 q 2 = 2 k 2 q 2 q 2 q q p , q p , q 2 2
2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ 2 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ⋱ 1 1 1 1
这个连分数是纯周期性的，周期为 1。
2 ≈ 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 2 ≈ 1 + 2 + 2 + 2 + 2 1 1 1 1
计算各阶渐近分数（convergents）：
阶数
分数形式
小数近似值
误差
1
1/1
1.00000
4.14 × 10 − 1 4.14 × 1 0 − 1
2
3/2
1.50000
8.58 × 10 − 2 8.58 × 1 0 − 2
3
7/5
1.40000
1.42 × 10 − 2 1.42 × 1 0 − 2
4
17/12
1.41667
2.45 × 10 − 3 2.45 × 1 0 − 3
5
41/29
1.41379
4.20 × 10 − 4 4.20 × 1 0 − 4
6
99/70
1.41429
7.21 × 10 − 5 7.21 × 1 0 − 5
7
239/169
1.41420
1.24 × 10 − 5 1.24 × 1 0 − 5
分数的分母和分子同时满足佩尔方程（Pell's equation）：p 2 − 2 q 2 = ± 1 p 2 − 2 q 2 = ± 1
发现 2 2
几何 ：正方形的对角线长度。边长为 1 的正方形的对角线长为 2 2 纸张尺寸 ：A4 纸的长宽比 2 : 1 2 : 1 297 × 210 297 × 210 1.414 1.414 信号处理 ：均方根值（RMS）的计算
3 ≈ 1.73205080756887729352 … 3 ≈ 1.73205080756887729352 …
连分数表示：
3 = 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + ⋱ 3 = 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + ⋱ 1 1 1 1
周期为 2。
应用 ：边长为 1 的正四面体的高为 2 / 3 2/3 3 2 2 3
常见平方根的小数展开：
表达式
近似值
常见用途
2 2 1.41421356
正方形对角线
3 3 1.73205081
等边三角形高
5 5 2.23606798
黄金分割
6 6 2.44948974
-
10 10 3.16227766
-
γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln n ) ≈ 0.57721566490153286060 … γ = n → ∞ lim ( k = 1 ∑ n k 1 − ln n ) ≈ 0.57721566490153286060 …
它度量了调和级数 ∑ 1 / k ∑ 1/ k ln n ln n
n n 调和数 H n = ∑ k = 1 n 1 / k H n = ∑ k = 1 n 1/ k
ln n ln n H n − ln n H n − ln n
10
2.92896825
2.30258509
0.62638316
100
5.18737752
4.60517019
0.58220733
1,000
7.48547086
6.90775528
0.57771558
10,000
9.78760604
9.21034037
0.57726566
100,000
12.09014613
11.51292546
0.57722068
∞ ∞ -
-
0.57721566...
γ = − ∫ 0 ∞ e − x ln x d x γ = − ∫ 0 ∞ e − x ln x d x
γ = ∫ 0 1 ( 1 ln x + 1 1 − x ) d x γ = ∫ 0 1 ( ln x 1 + 1 − x 1 ) d x
目前尚不清楚 γ γ γ γ
数论 ：素数定理的误差项特殊函数 ：伽马函数 Γ ′ ( 1 ) = − γ Γ ′ ( 1 ) = − γ 积分 ：指数积分 Ei ( x ) Ei ( x ) 狄利克雷级数 ：ζ ( s ) = 1 s − 1 + γ + O ( s − 1 ) ζ ( s ) = s − 1 1 + γ + O ( s − 1 ) s → 1 s → 1
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n s 1
s s ζ ( s ) ζ ( s ) 数值
描述
2
π 2 6 6 π 2 1.644934...
巴塞尔问题
3
ζ ( 3 ) ζ ( 3 ) 1.2020569...
阿佩里常数
4
π 4 90 90 π 4 1.082323...
欧拉公式
5
ζ ( 5 ) ζ ( 5 ) 1.036927...
-
6
π 6 945 945 π 6 1.017343...
欧拉公式
8
π 8 9450 9450 π 8 1.004077...
-
对于偶数 s = 2 n s = 2 n ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 n )! B 2 n ( 2 π ) 2 n B n B n
数值验证 ζ ( 2 ) = π 2 / 6 ζ ( 2 ) = π 2 /6
∑ n = 1 10 1 n 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + 1 49 + 1 64 + 1 81 + 1 100 ≈ 1.54977 n = 1 ∑ 10 n 2 1 = 1 + 4 1 + 9 1 + 16 1 + 25 1 + 36 1 + 49 1 + 64 1 + 81 1 + 100 1 ≈ 1.54977
π 2 6 ≈ 9.869604 6 ≈ 1.644934 6 π 2 ≈ 6 9.869604 ≈ 1.644934
ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ≈ 1.2020569031595942854 … ζ ( 3 ) = n = 1 ∑ ∞ n 3 1 ≈ 1.2020569031595942854 …
由罗杰·阿佩里（Roger Apéry）在1978年证明其无理性 （irrational），但其是否为超越数仍未知。
数值验证 ：
S 5 = 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 ≈ 1.185185 S 5 = 1 + 8 1 + 27 1 + 64 1 + 125 1 ≈ 1.185185
S 10 ≈ 1.197532 S 10 ≈ 1.197532
S 100 ≈ 1.202007 S 100 ≈ 1.202007
G = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ ≈ 0.91596559417721901505 … G = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) 2 ( − 1 ) n = 1 − 3 2 1 + 5 2 1 − 7 2 1 + ⋯ ≈ 0.91596559417721901505 …
n n 部分和 S n S n
误差
0
1.00000
8.40 × 10 − 2 8.40 × 1 0 − 2
1
0.88889
2.71 × 10 − 2 2.71 × 1 0 − 2
2
0.92889
1.29 × 10 − 2 1.29 × 1 0 − 2
3
0.90849
7.48 × 10 − 3 7.48 × 1 0 − 3
10
0.91610
1.31 × 10 − 4 1.31 × 1 0 − 4
100
0.91597
1.53 × 10 − 6 1.53 × 1 0 − 6
积分 ：G = ∫ 0 1 arctan x x d x G = ∫ 0 1 x a r c t a n x d x 组合数学 ：交错排列的数量数论 ：某些狄利克雷 L L
对于几乎所有实数 x x x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ]
lim n → ∞ ( ∏ k = 1 n a k ) 1 / n = K ≈ 2.6854520010653064453 … n → ∞ lim ( k = 1 ∏ n a k ) 1/ n = K ≈ 2.6854520010653064453 …
K = ∏ r = 1 ∞ ( 1 + 1 r ( r + 2 ) ) log 2 r K = r = 1 ∏ ∞ ( 1 + r ( r + 2 ) 1 ) l o g 2 r
这意味着大多数实数的连分数展开系数具有相同的渐近几何均值——一个惊人的普适性结果。
费根鲍姆常数 δ δ
δ = lim n → ∞ μ n − μ n − 1 μ n + 1 − μ n ≈ 4.6692016091029906718 … δ = n → ∞ lim μ n + 1 − μ n μ n − μ n − 1 ≈ 4.6692016091029906718 …
其中 μ n μ n x n + 1 = r x n ( 1 − x n ) x n + 1 = r x n ( 1 − x n ) n n
逻辑斯蒂映射的分岔点序列：
n n 分岔类型
参数 μ n μ n
差值 Δ n = μ n − μ n − 1 Δ n = μ n − μ n − 1
比值 Δ n − 1 / Δ n Δ n − 1 / Δ n
1
1 → →
3.0
-
-
2
2 → →
3.44949
0.44949
-
3
4 → →
3.54409
0.09460
4.751
4
8 → →
3.56441
0.02032
4.656
5
16 → →
3.56876
0.00435
4.668
6
32 → →
3.56969
0.00093
4.669
比值迅速收敛到 δ ≈ 4.6692 δ ≈ 4.6692 普适常数 ——不仅对逻辑斯蒂映射成立，对任何具有倍周期分岔的系统都成立（如 x n + 1 = r sin ( π x n ) x n + 1 = r sin ( π x n )
常数
符号
近似值
分类
已知小数位数
圆周率
π π 3.14159265358979...
超越数
∼ 10 14 ∼ 1 0 14
自然常数
e e 2.71828182845905...
超越数
∼ 10 13 ∼ 1 0 13
虚数单位
i i i 2 = − 1 i 2 = − 1 代数数
精确
黄金分割
φ φ 1.61803398874989...
代数数
精确
欧拉常数
γ γ 0.57721566490153...
未知（猜想超越）
∼ 10 12 ∼ 1 0 12
卡塔兰常数
G G 0.91596559417722...
未知
∼ 10 10 ∼ 1 0 10
阿佩里常数
ζ ( 3 ) ζ ( 3 ) 1.20205690315959...
无理数
∼ 10 12 ∼ 1 0 12
辛钦常数
K K 2.68545200106531...
未知
∼ 10 5 ∼ 1 0 5
费根鲍姆常数
δ δ 4.66920160910299...
未知
∼ 10 3 ∼ 1 0 3
2 2 2 2 1.41421356237310...
代数无理数
精确
3 3 3 3 1.73205080756888...
代数无理数
精确
5 5 5 5 2.23606797749979...
代数无理数
精确
e i π + 1 = 0 e iπ + 1 = 0
将五个最重要的常数联系在一个等式中。
ζ ( 2 ) = π 2 6 , ζ ( 4 ) = π 4 90 , ζ ( 6 ) = π 6 945 ζ ( 2 ) = 6 π 2 , ζ ( 4 ) = 90 π 4 , ζ ( 6 ) = 945 π 6
e i π = − 1 e iπ = − 1
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
高斯积分将 e e π π
Γ ( 1 2 ) = π Γ ( 2 1 ) = π
本文涵盖了以下数学常数的详细说明（见子页面）：
子路径
标题
核心内容
math/constants/pi/π π 莱布尼茨公式、巴塞尔问题、拉马努金公式、丘德诺夫斯基算法、高斯-勒让德算法、蒙特卡洛方法、BBP公式
math/constants/e/e e 极限定义、级数展开、连分数、积分定义、复利应用
math/constants/golden-ratio/φ φ 代数性质、连分数表示、斐波那契数列、应用
math/constants/sqrt2/2 2 无理性证明、连分数、佩尔方程
math/constants/imaginary-unit/i i 复数域、欧拉公式、应用
math/constants/euler-mascheroni/γ γ 调和级数、积分表示、开放问题
math/constants/riemann-zeta/ζ ζ 巴塞尔问题、阿佩里常数、偶数公式
math/constants/catalan/卡塔兰常数 G G
级数定义、积分表示
math/constants/khinchin/辛钦常数 K K
连分数系数的几何均值
math/constants/feigenbaum/费根鲍姆常数 δ δ
倍周期分岔、普适性
math/constants/apery/阿佩里常数 ζ ( 3 ) ζ ( 3 )
无理性证明、数值计算
Bailey, D. H., Borwein, J. M. & Plouffe, S. (1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Mathematics of Computation , 66(218), 903-913.
Chudnovsky, D. V. & Chudnovsky, G. V. (1989). "The Computation of Classical Constants." Proceedings of the National Academy of Sciences , 86(21), 8178-8182.
Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ ( 2 ) ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) ζ ( 3 ) Astérisque , 61, 11-13.
Feigenbaum, M. J. (1978). "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations." Journal of Statistical Physics , 19(1), 25-52.
Sondow, J. (1998). "An Antidote for the Euler-Mascheroni Constant." American Mathematical Monthly , 105(7), 636-640.
Arndt, J. & Haenel, C. (2001). Pi Unleashed . Springer-Verlag.
通过子页面获取每个常数的详细讨论、历史发展、多种计算公式和实际应用示例。